Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 na expressão
. A gente vai usar conceitos de limites e racionalização para resolver isso. Vamos precisar manipular as raízes quadradas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando substituímos
diretamente na expressão.
Aqui, o denominador está zero e o numerador é uma diferença de raízes que não é zero. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.
Passo 3
Para entender melhor o comportamento desse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
.
Passo 4
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando
se aproxima de 1:
Substituindo
:
Aqui, vemos que o denominador está tendendo a zero, mas o numerador é uma constante positiva. Isso indica que o valor do limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de 1.
Passo 6
Vamos analisar os limites laterais:
-
Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ):
O denominadoré positivo e está se aproximando de zero, então a fração tende a . -
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
O denominadoré negativo e está se aproximando de zero, então a fração tende a .
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.