lim x 1 raizx+4-raizx+2x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de 1 na expressão . A gente vai usar conceitos de limites e racionalização para resolver isso. Vamos precisar manipular as raízes quadradas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando substituímos raiz1+4 - raiz1+21-1 = raiz5 - raiz30 diretamente na expressão.
Aqui, o denominador está zero e o numerador é uma diferença de raízes que não é zero. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento desse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx+4 - raizx+2x-1 times raizx+4 + raizx+2raizx+4 + raizx+2 = (raizx+4)^2 - (raizx+2)^2(x-1)(raizx+4 + raizx+2) é .

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade (x+4) - (x+2)(x-1)(raizx+4 + raizx+2) = 2(x-1)(raizx+4 + raizx+2) :

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando limx to 1 2(x-1)(raizx+4 + raizx+2) se aproxima de 1:
2(0)(raiz5 + raiz3)
Substituindo :
Aqui, vemos que o denominador está tendendo a zero, mas o numerador é uma constante positiva. Isso indica que o valor do limite depende do caminho pelo qual se aproxima de 1.

Passo 6

Vamos analisar os limites laterais:
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
    O denominador é positivo e está se aproximando de zero, então a fração tende a .
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    O denominador é negativo e está se aproximando de zero, então a fração tende a .
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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