lim x 0 raizx^2+4 x-xx

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente lidando com expressões envolvendo raízes e frações. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algebraicas e analisar o comportamento delas conforme se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que:
raizx^2 + 4x - x = raizx^2 + 3x
Então, nosso limite fica:
limx 0 raizx^2 + 3xx

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece dentro da raiz quando x^2 + 3x = x(x + 3) se aproxima de 0. Podemos fatorar raizx(x + 3) = raizx cdot raizx + 3 da expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 4

Vamos reescrever o limite usando a fatoração que fizemos:
limx 0 raizx cdot raizx + 3x
Podemos simplificar raizxx = x^1/2x^1 = x^-1/2 = 1raizx para limx 0 raizx + 3raizx , já que e . Portanto:
Então o limite fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração conforme raiz30^+ = +infty se aproxima de 0:
  • quando se aproxima de .
  • quando (apenas pelo lado positivo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real) tende a .
Portanto, a fração completa tende a:

Resposta

O limite é .

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