Seja a transformação linear
dada por
. Ou seja,
transforma um vetor
do
em um polinômio na variável
, de grau menor ou igual a um. Calcule
. A seguir, determine o núcleo e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. A transformação dada é
, onde
. Primeiro, precisamos calcular
e depois encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos lembrar o que são núcleo e imagem em transformações lineares e como calculá-los passo a passo.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Substituímos
e
na fórmula da transformação:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são levados para o polinômio zero em
. Ou seja, queremos encontrar todos
tais que:
Usando a definição de
:
Isso significa que os coeficientes de
e
devem ser zero separadamente:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda:
Portanto, o núcleo de
é:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor
em
. Ou seja, queremos descrever todos os polinômios da forma
.
Vamos considerar um polinômio genérico em
:
Queremos ver se para quaisquer
e
, existe
tal que:
Da primeira equação, sabemos que
. Substituindo na segunda:
Isso mostra que para qualquer
e
, podemos sempre encontrar
e
que satisfazem a equação. Portanto, todos os polinômios de
estão na imagem de
.
Então, a imagem de
é:
Resposta
Exercícios relacionados
Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Use a definição de transformação linear para justificar por que
tal que
e
não é transformação linear.
Seja
a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola
definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical
Determine a soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica definida pela equação