Seja a transformação linear S: R^2 P1(R) dada por S(x, y)=x+(x+y) cdot t. Ou seja, S transforma um vetor (x, y) do R^2 em um polinômio na variável t, de grau menor ou igual a um. Calcule S(1,2). A seguir, determine o núcleo e a imagem de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. A transformação dada é , onde . Primeiro, precisamos calcular e depois encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos lembrar o que são núcleo e imagem em transformações lineares e como calculá-los passo a passo.

Passo 2

Vamos começar calculando S(1, 2) = 1 + (1 + 2) cdot t = 1 + 3t . Substituímos e na fórmula da transformação:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos determinar o núcleo de S(x, y) = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x + (x + y) cdot t = 0 em x = 0 x + y = 0 que são levados para o polinômio zero em 0 + y = 0 implies y = 0 . Ou seja, queremos encontrar todos Núc<=o(S) = (0, 0) tais que:
Usando a definição de :
Isso significa que os coeficientes de e devem ser zero separadamente:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Portanto, o núcleo de é:
ú

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a imagem de a + bt . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando x = a x + y = b a algum vetor a + y = b implies y = b - a em Ima>=m(S) = P1(R) . Ou seja, queremos descrever todos os polinômios da forma .
Vamos considerar um polinômio genérico em :
Queremos ver se para quaisquer e , existe tal que:
Da primeira equação, sabemos que . Substituindo na segunda:
Isso mostra que para qualquer e , podemos sempre encontrar e que satisfazem a equação. Portanto, todos os polinômios de estão na imagem de .
Então, a imagem de é:

Resposta

, o núcleo de é e a imagem de é todo o espaço .

Exercícios relacionados