Seja a transformação linear dada por . Ou seja, transforma um vetor do em um polinômio na variável , de grau menor ou igual a um. Calcule . A seguir, determine o núcleo e a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. A transformação dada é , onde . Primeiro, precisamos calcular e depois encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos lembrar o que são núcleo e imagem em transformações lineares e como calculá-los passo a passo.

Passo 2

Vamos começar calculando . Substituímos e na fórmula da transformação:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos determinar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são levados para o polinômio zero em . Ou seja, queremos encontrar todos tais que:
Usando a definição de :
Isso significa que os coeficientes de e devem ser zero separadamente:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Portanto, o núcleo de é:
ú

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja, queremos descrever todos os polinômios da forma .
Vamos considerar um polinômio genérico em :
Queremos ver se para quaisquer e , existe tal que:
Da primeira equação, sabemos que . Substituindo na segunda:
Isso mostra que para qualquer e , podemos sempre encontrar e que satisfazem a equação. Portanto, todos os polinômios de estão na imagem de .
Então, a imagem de é:

Resposta

, o núcleo de é e a imagem de é todo o espaço .

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