Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(b) onde e .

Passo 1

Vamos encontrar o subespaço do espaço gerado pelos vetores . Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e identificar uma base para .

Passo 2

Primeiro, representamos cada matriz como um vetor no espaço . Cada entrada da matriz será uma componente do vetor:

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e realizar a eliminação de Gauss para verificar a independência linear:
Primeiro, somamos a primeira linha à segunda para eliminar o na primeira coluna da segunda linha:

Passo 4

Agora, simplificamos a segunda linha dividindo por 2:
Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o na segunda coluna da terceira linha:

Passo 5

Como todas as três linhas possuem pivôs (elementos principais não nulos), concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O subespaço é gerado pelas três matrizes de , formando uma base de com dimensão 3.

Exercícios relacionados

Seja a reta
(d) Escrever a reta dada na forma paramétrica
Seja |・| uma norma no espaço vetorial . Mostre que
para todos .
Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
© e .
Verifique quais das funções abaixo são lineares. .