Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(b) onde e .
Passo 1
Vamos encontrar o subespaço do espaço gerado pelos vetores . Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e identificar uma base para .
Passo 2
Primeiro, representamos cada matriz como um vetor no espaço . Cada entrada da matriz será uma componente do vetor:
Passo 3
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e realizar a eliminação de Gauss para verificar a independência linear:
Primeiro, somamos a primeira linha à segunda para eliminar o na primeira coluna da segunda linha:
Passo 4
Agora, simplificamos a segunda linha dividindo por 2:
Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o na segunda coluna da terceira linha:
Passo 5
Como todas as três linhas possuem pivôs (elementos principais não nulos), concluímos que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
O subespaço é gerado pelas três matrizes de , formando uma base de com dimensão 3.