Determine o subespaço S do espaço V, gerado pelos vetores de A, em cada caso.
(b) V=M(2,2), A=v1, v2, v3 onde v1=[ll1 & 0 1 & 1], v2=[cc-1 & 2 0 & 1] e v3=[cc0 & -1 2 & 1].

Passo 1

Vamos encontrar o subespaço do espaço gerado pelos vetores . Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e identificar uma base para .

Passo 2

Primeiro, representamos cada matriz como um vetor no espaço v1 = 1 & 0 1 & 1 (1, 0, 1, 1) . Cada entrada da matriz será uma componente do vetor:
v2 = -1 & 2 0 & 1 (-1, 2, 0, 1)
v3 = 0 & -1 2 & 1 (0, -1, 2, 1)

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e realizar a eliminação de Gauss para verificar a independência linear:
1 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 0 & 1 0 & -1 & 2 & 1
Primeiro, somamos a primeira linha à segunda para eliminar o 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 2 0 & -1 & 2 & 1 na primeira coluna da segunda linha:

Passo 4

Agora, simplificamos a segunda linha dividindo por 2:
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0.5 & 1 0 & -1 & 2 & 1
Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0.5 & 1 0 & 0 & 2.5 & 2 na segunda coluna da terceira linha:

Passo 5

Como todas as três linhas possuem pivôs (elementos principais não nulos), concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O subespaço é gerado pelas três matrizes de , formando uma base de com dimensão 3.

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