Seja a reta r: 3 x-2 y+1=0
(d) Escrever a reta dada r na forma paramétrica

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Você tem a reta r: 3x - 2y + 1 = 0 e precisa escrever ela na forma paramétrica. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra para transformar a equação da reta em uma forma que mostramos como x e y variam em relação a um parâmetro, geralmente chamado de t.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que está na reta r. Para isso, podemos atribuir um valor para x e resolver para y, ou vice-versa. Vamos escolher x = 0 para simplificar:
3(0) - 2y + 1 = 0 Rightarrow -2y + 1 = 0 Rightarrow -2y = -1 Rightarrow y = 12
Então, um ponto na reta é (0, 12).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta, ou seja, um vetor que indica para onde a reta está apontando. A partir da equação da reta 3x - 2y + 1 = 0, podemos reescrever em termos de y:
-2y = -3x -1 Rightarrow y = 32x + 12
O coeficiente de x aqui, 32, nos dá a inclinação da reta, que está relacionada ao vetor diretor. Podemos extrair o vetor diretor (a, b) diretamente dos coeficientes de x e y na equação original. Aqui, o vetor diretor é (2, 3) porque, rearranjando a equação para y = 32x + 12, percebemos que para cada aumento de 2 em x, y aumenta 3.

Passo 4

Com o ponto (0, 12) e o vetor diretor (2, 3), podemos escrever a forma paramétrica da reta. A forma paramétrica é dada por:
x = x0 + a t y = y0 + b t
Onde (x0, y0) é o ponto na reta e (a, b) é o vetor diretor. Substituindo os valores que encontramos:
x = 0 + 2t y = 12 + 3t

Resposta

A forma paramétrica da reta r é:
x = 2t y = dfrac12 + 3t

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