Seja |・| uma norma no espaço vetorial
. Mostre que
para todos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, em um espaço vetorial
com uma certa norma
, para quaisquer vetores
e
em
, a diferença entre as normas de
e
é, no máximo, a norma da diferença entre
e
. Basicamente, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que é uma propriedade fundamental das normas e nos ajuda a relacionar as normas de vetores somados ou subtraídos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer vetores
e
:
Isso basicamente significa que a norma da soma de dois vetores é, no máximo, a soma das normas deles.
Passo 3
Agora, para aplicar isso ao nosso problema, vamos considerar o vetor
. Podemos reescrever a norma de
da seguinte forma:
Aplicando a desigualdade triangular:
Rearranjando a inequação para isolar
:
Da mesma forma, podemos inverter os papéis de
e
:
Que também dá:
Passo 4
Agora, juntando as duas inequações que obtivemos:
e
Podemos dizer que o valor absoluto da diferença das normas é, no máximo, a norma da diferença dos vetores:
Resposta
A desigualdade
está comprovada para todos
.
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Seja a reta
(e) Escrever a reta perpendicular á r na forma cartesiana
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Seja
,
e assuma que
seja uma norma induzida por
,
as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo) ;
(Identidade do Paralelogramo)
Seja a reta
(d) Escrever a reta dada na forma paramétrica
(d) Escrever a reta dada
Determine o subespaço
do espaço
, gerado pelos vetores de
, em cada caso.
(b) onde
e
.
(b)