Seja |・| uma norma no espaço vetorial . Mostre que
para todos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, em um espaço vetorial com uma certa norma , para quaisquer vetores e em , a diferença entre as normas de e é, no máximo, a norma da diferença entre e . Basicamente, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que é uma propriedade fundamental das normas e nos ajuda a relacionar as normas de vetores somados ou subtraídos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer vetores e :
Isso basicamente significa que a norma da soma de dois vetores é, no máximo, a soma das normas deles.

Passo 3

Agora, para aplicar isso ao nosso problema, vamos considerar o vetor . Podemos reescrever a norma de da seguinte forma:
Aplicando a desigualdade triangular:
Rearranjando a inequação para isolar :
Da mesma forma, podemos inverter os papéis de e :
Que também dá:

Passo 4

Agora, juntando as duas inequações que obtivemos:
e
Podemos dizer que o valor absoluto da diferença das normas é, no máximo, a norma da diferença dos vetores:

Resposta

A desigualdade está comprovada para todos .

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Seja a reta
(e) Escrever a reta perpendicular á r na forma cartesiana
Seja , ç e assuma que seja uma norma induzida por , as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo) ;
Seja a reta
(d) Escrever a reta dada na forma paramétrica
Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(b) onde e .