Seja |・| uma norma no espaço vetorial V. Mostre que
||u|-|v|| <=|u-v|
para todos u, v in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, em um espaço vetorial ||u| - |v|| <= |u - v| com uma certa norma , para quaisquer vetores e em , a diferença entre as normas de e é, no máximo, a norma da diferença entre e . Basicamente, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar a desigualdade triangular, que é uma propriedade fundamental das normas e nos ajuda a relacionar as normas de vetores somados ou subtraídos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer vetores |u + v| <= |u| + |v| e :
Isso basicamente significa que a norma da soma de dois vetores é, no máximo, a soma das normas deles.

Passo 3

Agora, para aplicar isso ao nosso problema, vamos considerar o vetor |u| = |u - v + v| . Podemos reescrever a norma de |u| <= |u - v| + |v| da seguinte forma:
|u| - |v| <= |u - v|
Aplicando a desigualdade triangular:
|v| <= |v - u| + |u|
Rearranjando a inequação para isolar |v| - |u| <= |u - v| :
Da mesma forma, podemos inverter os papéis de e :
Que também dá:

Passo 4

Agora, juntando as duas inequações que obtivemos:
|u| - |v| <= |u - v|
e
|v| - |u| <= |u - v|
Podemos dizer que o valor absoluto da diferença das normas é, no máximo, a norma da diferença dos vetores:
||u| - |v|| <= |u - v|

Resposta

A desigualdade está comprovada para todos .

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