Determine o subespaço S do espaço V, gerado pelos vetores de A, em cada caso.
© V=P2(R), v1=t+1 e v2=t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra gente determinar o subespaço do espaço , que é (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais). Os vetores que geram esse subespaço são e . Então, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todos os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa gerar um subespaço. Quando dizemos que p(t) = a cdot v1 + b cdot v2 é gerado por e , significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, qualquer em pode ser expresso como:
onde e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos substituir p(t) = a cdot (t + 1) + b cdot t^2 e p(t) = a cdot t + a cdot 1 + b cdot t^2 na equação:
p(t) = b cdot t^2 + a cdot t + a
Vamos distribuir :
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos organizar os termos em ordem decrescente de grau:
p(t) = b cdot t^2 + a cdot t + a
Podemos reescrever isso como:
p(t) = b t^2 + a t + a
Isso mostra que qualquer polinômio em tem a forma , onde e são reais.

Passo 5

Agora, vamos entender quais polinômios podemos obter variando e . Se fixarmos , podemos escolher qualquer valor para , e vice-versa. Isso significa que inclui todos os polinômios de segundo grau que podem ser formados com esses vetores geradores.

Passo 6

Finalmente, podemos concluir que o subespaço é composto por todos os polinômios da forma , onde e são números reais. Esse conjunto é um subespaço de porque está fechado sob adição e multiplicação por escalar, e inclui o vetor zero (quando e ).

Resposta

O subespaço é formado por todos os polinômios , onde e são números reais.

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