Determine o subespaço
do espaço
, gerado pelos vetores de
, em cada caso.
©
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra gente determinar o subespaço
do espaço
, que é
(o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais). Os vetores que geram esse subespaço são
e
. Então, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todos os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa gerar um subespaço. Quando dizemos que
é gerado por
e
, significa que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, qualquer
em
pode ser expresso como:
onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação:
Vamos distribuir
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos organizar os termos em ordem decrescente de grau:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer polinômio em
tem a forma
, onde
e
são reais.
Passo 5
Agora, vamos entender quais polinômios podemos obter variando
e
. Se fixarmos
, podemos escolher qualquer valor para
, e vice-versa. Isso significa que
inclui todos os polinômios de segundo grau que podem ser formados com esses vetores geradores.
Passo 6
Finalmente, podemos concluir que o subespaço
é composto por todos os polinômios da forma
, onde
e
são números reais. Esse conjunto é um subespaço de
porque está fechado sob adição e multiplicação por escalar, e inclui o vetor zero (quando
e
).
Resposta
O subespaço
é formado por todos os polinômios
, onde
e
são números reais.