Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(c) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra gente determinar o subespaço do espaço , que é (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais). Os vetores que geram esse subespaço são e . Então, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todos os elementos de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa gerar um subespaço. Quando dizemos que é gerado por e , significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, qualquer em pode ser expresso como:
onde e são números reais.
Passo 3
Agora, vamos substituir e na equação:
Vamos distribuir :
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos organizar os termos em ordem decrescente de grau:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer polinômio em tem a forma , onde e são reais.
Passo 5
Agora, vamos entender quais polinômios podemos obter variando e . Se fixarmos , podemos escolher qualquer valor para , e vice-versa. Isso significa que inclui todos os polinômios de segundo grau que podem ser formados com esses vetores geradores.
Passo 6
Finalmente, podemos concluir que o subespaço é composto por todos os polinômios da forma , onde e são números reais. Esse conjunto é um subespaço de porque está fechado sob adição e multiplicação por escalar, e inclui o vetor zero (quando e ).
Resposta
O subespaço é formado por todos os polinômios , onde e são números reais.
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Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(b) onde e .
Seja a reta
(d) Escrever a reta dada na forma paramétrica
Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
а)