Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso. (c) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra gente determinar o subespaço do espaço , que é (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais). Os vetores que geram esse subespaço são e . Então, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todos os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa gerar um subespaço. Quando dizemos que é gerado por e , significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, qualquer em pode ser expresso como: onde e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação: Vamos distribuir : Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos organizar os termos em ordem decrescente de grau: Podemos reescrever isso como: Isso mostra que qualquer polinômio em tem a forma , onde e são reais.

Passo 5

Agora, vamos entender quais polinômios podemos obter variando e . Se fixarmos , podemos escolher qualquer valor para , e vice-versa. Isso significa que inclui todos os polinômios de segundo grau que podem ser formados com esses vetores geradores.

Passo 6

Finalmente, podemos concluir que o subespaço é composto por todos os polinômios da forma , onde e são números reais. Esse conjunto é um subespaço de porque está fechado sob adição e multiplicação por escalar, e inclui o vetor zero (quando e ).

Resposta

O subespaço é formado por todos os polinômios , onde e são números reais.

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Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso. (b) onde e .
Seja a reta (d) Escrever a reta dada na forma paramétrica
Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade. а)