Determine o subespaço gerado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o subespaço gerado pelo conjunto . Isso está relacionado ao conteúdo de Espaços Vetoriais e Geração de Subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que significa combinar vetores através de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por um conjunto de vetores é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma soma ponderada dos vetores de .

Passo 3

Vamos chamar os vetores de de e . Uma combinação linear desses vetores é dada por:
onde e são números reais.

Passo 4

Substituindo os vetores e na expressão, temos:

Passo 5

Então, todo vetor no subespaço gerado por pode ser escrito como:
onde e são reais.

Passo 6

Observamos que o terceiro componente de é sempre 0. Isso significa que todos os vetores no subespaço estão no plano no espaço tridimensional.

Passo 7

Além disso, os vetores variam nas duas primeiras coordenadas conforme os valores de e . Portanto, o subespaço gerado por é um plano no espaço tridimensional onde .

Resposta

O subespaço gerado por é o plano no espaço tridimensional, formado por todos os vetores da forma onde e são números reais.

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