Determine o subespaço gerado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o subespaço gerado pelo conjunto
. Isso está relacionado ao conteúdo de Espaços Vetoriais e Geração de Subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que significa combinar vetores através de combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por um conjunto de vetores é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma soma ponderada dos vetores de
.
Passo 3
Vamos chamar os vetores de
de
e
. Uma combinação linear desses vetores é dada por:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Substituindo os vetores
e
na expressão, temos:
Passo 5
Então, todo vetor
no subespaço gerado por
pode ser escrito como:
onde
e
são reais.
Passo 6
Observamos que o terceiro componente de
é sempre 0. Isso significa que todos os vetores no subespaço estão no plano
no espaço tridimensional.
Passo 7
Além disso, os vetores variam nas duas primeiras coordenadas conforme os valores de
e
. Portanto, o subespaço gerado por
é um plano no espaço tridimensional onde
.
Resposta
O subespaço gerado por
é o plano
no espaço tridimensional, formado por todos os vetores da forma
onde
e
são números reais.
Exercícios relacionados
Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores do espaço vetorial
, são linearmente independentes.
O ponto
é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a
sobre a reta
. Qual é a área do quadrado?
Verifique se
é combinação linear dos vetores