Verifique que as retas abaixo são concorrentes e determine a distância entre elas (atenção ao formato das equações).
r:l x=0 y=z e s:l y=3 z=2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se duas retas são concorrentes e, se forem, determinar a distância entre elas. Estamos trabalhando com Geometria Analítica no Espaço, e vamos precisar usar conceitos de equações paramétricas de retas e cálculo de distância entre retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas. Temos:
  • Reta r:
    x = 0 y = z
  • Reta s:
    y = 3 z = 2x
Vamos reescrever essas equações de forma mais fácil de trabalhar, transformando-as em equações paramétricas.

Passo 3

Para a reta r, temos:
  • x = 0
  • y = z
Podemos escolher um parâmetro, digamos t, para expressar y e z:
  • y = t
  • z = t
Portanto, a equação paramétrica da reta r fica:
r(t) = x = 0 y = t z = t

Passo 4

Para a reta s, temos:
  • y = 3
  • z = 2x
Vamos usar o parâmetro t novamente para expressar x e, consequentemente, z:
  • x = t
  • z = 2t
Como y é constante e igual a 3, a equação paramétrica da reta s fica:
s(t) = x = t y = 3 z = 2t

Passo 5

Agora, para verificar se as retas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto, precisamos encontrar valores de t que tornem as coordenadas iguais para ambas as retas.
Então, igualamos as coordenadas:
Para x:
0 = t Rightarrow t = 0
Para y:
t = 3 Rightarrow t = 3
Já temos um problema: para a reta r, t deve ser 0 para x, mas para y, t deve ser 3. Isso significa que não existe um valor de t que satisfaça ambos simultaneamente. Portanto, as retas não são concorrentes, ou seja, não se cruzam.

Resposta

As retas r e s não são concorrentes, pois não possuem um ponto em comum.

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