Verifique se
é combinação linear dos vetores
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para verificar se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Em termos de matéria, estamos lidando com combinação linear de vetores, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações que representa essa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que o vetor
é uma combinação linear dos vetores dados se existirem números (chamados de coeficientes)
,
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos escrever isso componente por componente. Cada posição do vetor resultante corresponde à soma das componentes dos vetores multiplicados pelos seus respectivos coeficientes. Então, temos quatro equações:
-
Primeira componente:Simplificando:
-
Segunda componente:Simplificando:
-
Terceira componente:Simplificando:
-
Quarta componente:Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos pela equação mais simples, que é a terceira:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora que já temos o valor de
, vamos substituir esse valor nas outras equações para encontrar
e
. Vamos começar pela primeira equação:
Substituindo
:
Passo 6
Em seguida, vamos para a segunda equação:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos essa equação com a segunda equação:
Passo 8
Com o valor de
, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Passo 9
Então, encontramos os valores:
Isso significa que:
Resposta
Sim, o vetor
é uma combinação linear dos vetores
,
e
, com os coeficientes
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine o subespaço gerado por
.
Escreva, se possível, o vetor
como combinação linear dos vetores
.
Dados
e
, determine o ponto
no segmento de extremos
e
tal que
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