Verifique se é combinação linear dos vetores

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Em termos de matéria, estamos lidando com combinação linear de vetores, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações que representa essa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que o vetor é uma combinação linear dos vetores dados se existirem números (chamados de coeficientes) , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos escrever isso componente por componente. Cada posição do vetor resultante corresponde à soma das componentes dos vetores multiplicados pelos seus respectivos coeficientes. Então, temos quatro equações:
  1. Primeira componente:
    Simplificando:
  2. Segunda componente:
    Simplificando:
  3. Terceira componente:
    Simplificando:
  4. Quarta componente:
    Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos pela equação mais simples, que é a terceira:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora que já temos o valor de , vamos substituir esse valor nas outras equações para encontrar e . Vamos começar pela primeira equação:
Substituindo :

Passo 6

Em seguida, vamos para a segunda equação:
Substituindo :

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos essa equação com a segunda equação:

Passo 8

Com o valor de , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 9

Então, encontramos os valores:
Isso significa que:

Resposta

Sim, o vetor é uma combinação linear dos vetores , e , com os coeficientes , e .

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