Verifique se (3,9,-4,-2) é combinação linear dos vetores (1,-2,0,3),(2,3,0,-1) e(2,-1,2,1)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para verificar se o vetor (3,9,-4,-2) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,-2,0,3), (2,3,0,-1) e (2,-1,2,1). Em termos de matéria, estamos lidando com combinação linear de vetores, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações que representa essa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que o vetor (3,9,-4,-2) é uma combinação linear dos vetores dados se existirem números (chamados de coeficientes) a, b e c tais que:
a cdot (1,-2,0,3) + b cdot (2,3,0,-1) + c cdot (2,-1,2,1) = (3,9,-4,-2)

Passo 3

Agora, vamos escrever isso componente por componente. Cada posição do vetor resultante corresponde à soma das componentes dos vetores multiplicados pelos seus respectivos coeficientes. Então, temos quatro equações:
  1. Primeira componente:
    a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 2 = 3
    Simplificando:
    a + 2b + 2c = 3
  2. Segunda componente:
    a cdot (-2) + b cdot 3 + c cdot (-1) = 9
    Simplificando:
    -2a + 3b - c = 9
  3. Terceira componente:
    a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 2 = -4
    Simplificando:
    2c = -4
  4. Quarta componente:
    a cdot 3 + b cdot (-1) + c cdot 1 = -2
    Simplificando:
    3a - b + c = -2

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos pela equação mais simples, que é a terceira:
2c = -4
Dividindo ambos os lados por 2:
c = -2

Passo 5

Agora que já temos o valor de c, vamos substituir esse valor nas outras equações para encontrar a e b. Vamos começar pela primeira equação:
a + 2b + 2c = 3
Substituindo c = -2:
a + 2b + 2(-2) = 3 a + 2b - 4 = 3 a + 2b = 7

Passo 6

Em seguida, vamos para a segunda equação:
-2a + 3b - c = 9
Substituindo c = -2:
-2a + 3b - (-2) = 9 -2a + 3b + 2 = 9 -2a + 3b = 7

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  1. a + 2b = 7
  2. -2a + 3b = 7
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
2a + 4b = 14
Agora, somamos essa equação com a segunda equação:
(2a + 4b) + (-2a + 3b) = 14 + 7 7b = 21 b = 3

Passo 8

Com o valor de b = 3, substituímos na primeira equação para encontrar a:
a + 2b = 7 a + 2(3) = 7 a + 6 = 7 a = 1

Passo 9

Então, encontramos os valores:
a = 1, b = 3, c = -2
Isso significa que:
1 cdot (1,-2,0,3) + 3 cdot (2,3,0,-1) + (-2) cdot (2,-1,2,1) = (3,9,-4,-2)

Resposta

Sim, o vetor (3,9,-4,-2) é uma combinação linear dos vetores (1,-2,0,3), (2,3,0,-1) e (2,-1,2,1), com os coeficientes a = 1, b = 3 e c = -2.

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