Se com , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que se e são números racionais ( ) e , então o quociente também é racional. O assunto aqui é números racionais e vamos usar a definição de número racional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número é racional se pode ser escrito como uma fração onde o numerador e o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero. Ou seja, qualquer racional pode ser escrito como , onde e .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição aos números e que temos:
  • Seja , onde e .
  • Seja , onde e .

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Substituindo e pelas frações que acabamos de definir:

Passo 5

Dividir duas frações é o mesmo que multiplicar a primeira pela inversa da segunda. Então:

Passo 6

Observamos que e são ambos inteiros, já que inteiros multiplicados entre si continuam sendo inteiros. Além disso, porque ambos e são diferentes de zero.

Passo 7

Portanto, é uma fração de dois inteiros com denominador diferente de zero, o que significa que é um número racional.

Resposta

Assim, mostramos que se e são racionais com , então também é um número racional.

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