Se
com
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que se
e
são números racionais (
) e
, então o quociente
também é racional. O assunto aqui é números racionais e vamos usar a definição de número racional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número é racional se pode ser escrito como uma fração onde o numerador e o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero. Ou seja, qualquer racional
pode ser escrito como
, onde
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição aos números
e
que temos:
- Seja
, onde e . - Seja
, onde e .
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Substituindo
e
pelas frações que acabamos de definir:
Passo 5
Dividir duas frações é o mesmo que multiplicar a primeira pela inversa da segunda. Então:
Passo 6
Observamos que
e
são ambos inteiros, já que inteiros multiplicados entre si continuam sendo inteiros. Além disso,
porque ambos
e
são diferentes de zero.
Passo 7
Portanto,
é uma fração de dois inteiros com denominador diferente de zero, o que significa que
é um número racional.
Resposta
Assim, mostramos que se
e
são racionais com
, então
também é um número racional.
Exercícios relacionados
Determine o subespaço gerado
pelos vetores
e
. Diga qual a sua dimensão e encontre uma base neste subespaço.
Mostre que para todo natural
vale
- Sugestão: No passo de indução use que
com e e, em seguida, use a fórmula vista em sala para a soma de uma P.A. de razão 1 .
Seja
uma base de
(espaço vetorial das matrizes
) dada pelos vetores:
e
Calcule o vetor coordenada de
.
Se
é um número ímpar, então
é ímpar.