Seja uma base de (espaço vetorial das matrizes ) dada pelos vetores: e Calcule o vetor coordenada de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. A ideia é encontrar as coordenadas de uma matriz em relação a uma base dada. Pra fazer isso, vamos precisar entender como combinar as matrizes da base para chegar na matriz que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes envolvidas. A base de é composta pelas seguintes matrizes:
E a matriz que queremos representar é:

Passo 3

A ideia é escrever como uma combinação linear das matrizes da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos somar as matrizes do lado esquerdo:
Igualando com a matriz :

Passo 5

Agora, vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:
  1.    (Entrada [1,1])
  2.     (Entrada [1,2])
  3.        (Entrada [2,1])
  4.         (Entrada [2,2])

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação 3 e 4 já sabemos que:
Agora, vamos resolver para e usando as equações 1 e 2:
Somando as duas equações:
Agora, substituindo na segunda equação:

Passo 7

Então, encontramos os valores:

Resposta

O vetor coordenada de em relação à base é:

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Se com , então .
Determine o subespaço gerado pelos vetores e . Diga qual a sua dimensão e encontre uma base neste subespaço.
Se é um número ímpar, então é ímpar.
No espaço vetorial do , consideremos a seguinte base: . Determinar o vetor coordenada de em relação à base B sendo:
(a) .