Seja S uma base de V=M(2,2) (espaço vetorial das matrizes 2 times 2 ) dada pelos vetores: v1=(cc-1 & 1 0 & 0), v2=(ll1 & 1 0 & 0) e v3=(ll0 & 0 1 & 0), v3=(ll0 & 0 0 & 1) Calcule o vetor coordenada de v=(cc2 & 0 -1 & 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. A ideia é encontrar as coordenadas de uma matriz em relação a uma base dada. Pra fazer isso, vamos precisar entender como combinar as matrizes da base para chegar na matriz que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes envolvidas. A base v1 = -1 & 1 0 & 0 , v2 = 1 & 1 0 & 0 , v3 = 0 & 0 1 & 0 , v4 = 0 & 0 0 & 1 de v = 2 & 0 -1 & 3 é composta pelas seguintes matrizes:
E a matriz que queremos representar é:

Passo 3

A ideia é escrever av1 + bv2 + cv3 + dv4 = v como uma combinação linear das matrizes da base a -1 & 1 0 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 = 2 & 0 -1 & 3 . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos somar as matrizes do lado esquerdo:
-a + b & a + b 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 c & 0 + 0 & 0 0 & d = -a + b & a + b c & d
Igualando com a matriz -a + b & a + b c & d = 2 & 0 -1 & 3 :

Passo 5

Agora, vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:
  1.    (Entrada [1,1])
  2.     (Entrada [1,2])
  3.        (Entrada [2,1])
  4.         (Entrada [2,2])

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação 3 e 4 já sabemos que:
c = -1 e d = 3
Agora, vamos resolver para -a + b = 2 a + b = 0 e (-a + b) + (a + b) = 2 + 0 2b = 2 b = 1 usando as equações 1 e 2:
a + 1 = 0 a = -1
Somando as duas equações:
Agora, substituindo na segunda equação:

Passo 7

Então, encontramos os valores:
a = -1, b = 1, c = -1, d = 3

Resposta

O vetor coordenada de 2 & 0 -1 & 3 em relação à base -1 1 -1 3 é:

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