Seja
uma base de
(espaço vetorial das matrizes
) dada pelos vetores:
e
Calcule o vetor coordenada de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. A ideia é encontrar as coordenadas de uma matriz
em relação a uma base
dada. Pra fazer isso, vamos precisar entender como combinar as matrizes da base para chegar na matriz que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes envolvidas. A base
de
é composta pelas seguintes matrizes:
E a matriz que queremos representar é:
Passo 3
A ideia é escrever
como uma combinação linear das matrizes da base
. Ou seja, queremos encontrar escalares
tais que:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos somar as matrizes do lado esquerdo:
Igualando com a matriz
:
Passo 5
Agora, vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:
-
(Entrada [1,1]) -
(Entrada [1,2]) -
(Entrada [2,1]) -
(Entrada [2,2])
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação 3 e 4 já sabemos que:
Agora, vamos resolver para
e
usando as equações 1 e 2:
Somando as duas equações:
Agora, substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Então, encontramos os valores:
Resposta
O vetor coordenada de
em relação à base
é: