Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta:
S1=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y+z=0 e S2=(x, y, z) in R^3 mid x+3 y=0

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar a interseção e a soma de dois subespaços vetoriais em , chamados e . Além disso, precisamos identificar quando a soma desses subespaços é direta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e propriedades de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses subespaços e . Cada um é definido por uma equação linear em :
Cada um deles representa um plano passando pela origem no espaço tridimensional.

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção dos dois subespaços, ou seja, todos os vetores que pertencem a x - 2y + z = 0 x + 3y = 0 e ao mesmo tempo. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. A segunda equação é -3y - 2y + z = 0 Rightarrow -5y + z = 0 Rightarrow z = 5y , o que nos dá . Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Agora, expressamos todas as variáveis em função de x = -3y, z = 5y :
(x, y, z) = y(-3, 1, 5)
Então, todo vetor na interseção pode ser escrito como:
Isso significa que a interseção é uma reta que passa pela origem e é gerada pelo vetor .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços S1 + S2 = u + v mid u in S1, v in S2 e , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Matematicamente:

Passo 7

Para encontrar a soma, vamos parametrizar os vetores em e :
Para : , então podemos escrever .
Para : , então podemos escrever , onde é livre.

Passo 8

A soma (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) será o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como:
(x1, y1, z1) in S1 Rightarrow z1 = -x1 + 2y1
Onde:
(x2, y2, z2) in S2 Rightarrow x2 = -3y2

Passo 9

Substituindo (x, y, z) = (x1 - 3y2, y1 + y2, -x1 + 2y1 + z2) na soma, temos:
Isso define a variedade de vetores que formam . Para descrever isso de forma mais clara, podemos parametrizar com dois parâmetros independentes, por exemplo, e .

Passo 10

A soma será o espaço todo se os subespaços forem tais que sua soma preencha todo o espaço. Vamos verificar isso olhando para os vetores geradores. Como a interseção é uma linha, a soma será direta se a dimensão da soma for a soma das dimensões individuais menos a dimensão da interseção.

Passo 11

Sabemos que cada subespaço dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2) - dim(S1 cap S2) = 2 + 2 - 1 = 3 e é um plano, então cada um tem dimensão 2. A interseção é uma linha, com dimensão 1. Então:
Isso significa que .

Passo 12

Por fim, para a soma ser direta, a interseção dos subespaços deve ser apenas o vetor zero. Como a interseção aqui é uma reta (não apenas o vetor zero), a soma não é direta.

Resposta

A interseção dos subespaços e é a reta gerada pelo vetor . A soma dos subespaços é todo o espaço . A soma não é direta.

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