Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta:
e
Passo 1
Beleza, pessoal! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar a interseção e a soma de dois subespaços vetoriais em
, chamados
e
. Além disso, precisamos identificar quando a soma desses subespaços é direta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e propriedades de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses subespaços
e
. Cada um é definido por uma equação linear em
:
Cada um deles representa um plano passando pela origem no espaço tridimensional.
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção dos dois subespaços, ou seja, todos os vetores que pertencem a
e
ao mesmo tempo. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. A segunda equação é
, o que nos dá
. Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Agora, expressamos todas as variáveis em função de
:
Então, todo vetor na interseção pode ser escrito como:
Isso significa que a interseção é uma reta que passa pela origem e é gerada pelo vetor
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços
e
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Matematicamente:
Passo 7
Para encontrar a soma, vamos parametrizar os vetores em
e
:
Para
:
, então podemos escrever
.
Para
:
, então podemos escrever
, onde
é livre.
Passo 8
A soma
será o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como:
Onde:
Passo 9
Substituindo
na soma, temos:
Isso define a variedade de vetores que formam
. Para descrever isso de forma mais clara, podemos parametrizar com dois parâmetros independentes, por exemplo,
e
.
Passo 10
A soma
será o espaço todo
se os subespaços forem tais que sua soma preencha todo o espaço. Vamos verificar isso olhando para os vetores geradores. Como a interseção é uma linha, a soma será direta se a dimensão da soma for a soma das dimensões individuais menos a dimensão da interseção.
Passo 11
Sabemos que cada subespaço
e
é um plano, então cada um tem dimensão 2. A interseção é uma linha, com dimensão 1. Então:
Isso significa que
.
Passo 12
Por fim, para a soma ser direta, a interseção dos subespaços deve ser apenas o vetor zero. Como a interseção aqui é uma reta (não apenas o vetor zero), a soma não é direta.
Resposta
A interseção dos subespaços
e
é a reta gerada pelo vetor
. A soma dos subespaços é todo o espaço
. A soma não é direta.