Sejam v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e H=(s, s, 0) mid s in R. Então todo vetor de H é uma combinação linear de v1 e v2, pois (s, s, 0)=s(1,0,0)+s(0,1,0).
Será que v1, v2 é uma base para H? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores, e , e um conjunto . A questão afirma que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e , ou seja, . Agora, precisamos determinar se o conjunto forma uma base para .
Para resolver isso, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.

Passo 2

Vamos começar verificando se os vetores e são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Considerando e , vemos que não existe um escalar tal que ou , porque isso exigiria que um componente de fosse igual a um múltiplo de , o que não acontece neste caso. Portanto, e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (s, s, 0) = s cdot (1, 0, 0) + s cdot (0, 1, 0) = s v1 + s v2 gera o conjunto . Isso significa que todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
De fato, como foi mostrado no enunciado, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, gera .

Passo 4

Apesar de serem linearmente independentes e gerarem , precisamos considerar a dimensão de para saber se esse conjunto é uma base.
Vamos analisar . Aqui, cada vetor em é completamente descrito por um único parâmetro . Isso significa que é um espaço vetorial de dimensão 1.
No entanto, temos dois vetores em , o que sugere que estamos usando dois vetores para descrever um espaço de dimensão 1. Uma base de um espaço de dimensão 1 deve conter apenas um vetor que gere o espaço e seja linearmente independente.

Passo 5

Portanto, mesmo que sejam linearmente independentes e gerem , eles não formam uma base para porque excedem a dimensão necessária. Para , que é 1-dimensional, basta um único vetor que gere o espaço, como , para formar uma base.

Resposta

Não, não é uma base para porque é um espaço vetorial de dimensão 1 e apenas um vetor é necessário para formar uma base.

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