Sejam
e
. Então todo vetor de
é uma combinação linear de
e
, pois
.
Será que
é uma base para
? Justifique.
Será que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores,
e
, e um conjunto
. A questão afirma que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
, ou seja,
. Agora, precisamos determinar se o conjunto
forma uma base para
.
Para resolver isso, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Passo 2
Vamos começar verificando se os vetores
e
são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Considerando
e
, vemos que não existe um escalar
tal que
ou
, porque isso exigiria que um componente de
fosse igual a um múltiplo de
, o que não acontece neste caso. Portanto,
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
gera o conjunto
. Isso significa que todo vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
De fato, como foi mostrado no enunciado, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Portanto,
gera
.
Passo 4
Apesar de
serem linearmente independentes e gerarem
, precisamos considerar a dimensão de
para saber se esse conjunto é uma base.
Vamos analisar
. Aqui, cada vetor em
é completamente descrito por um único parâmetro
. Isso significa que
é um espaço vetorial de dimensão 1.
No entanto, temos dois vetores em
, o que sugere que estamos usando dois vetores para descrever um espaço de dimensão 1. Uma base de um espaço de dimensão 1 deve conter apenas um vetor que gere o espaço e seja linearmente independente.
Passo 5
Portanto, mesmo que
sejam linearmente independentes e gerem
, eles não formam uma base para
porque excedem a dimensão necessária. Para
, que é 1-dimensional, basta um único vetor que gere o espaço, como
, para formar uma base.
Resposta
Não,
não é uma base para
porque
é um espaço vetorial de dimensão 1 e apenas um vetor é necessário para formar uma base.