Mostre que para quaisquer subespaços vetoriais
e
de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, para quaisquer dois subespaços vetoriais
e
de um espaço vetorial
, a interseção
e a soma
nunca são conjuntos vazios. Vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, interseção e soma desses subespaços para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre subespaços vetoriais. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se você pegar qualquer vetor no subespaço e somar com outro vetor do mesmo subespaço, o resultado também estará no subespaço. O mesmo vale para multiplicar um vetor por um número qualquer.
Passo 3
Agora, vamos pensar na interseção
. A interseção de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em ambos. Como
e
são subespaços vetoriais, ambos contêm o vetor zero. Portanto, o vetor zero está na interseção
, o que já garante que essa interseção não está vazia.
Passo 4
Vamos agora para a soma
. A soma de dois subespaços
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja,
Como ambos
e
contêm o vetor zero, podemos escolher
em
e
em
. Assim,
Isso mostra que a soma
também contém pelo menos o vetor zero, garantindo que não é vazia.
Resposta
Para quaisquer subespaços vetoriais
e
de
, tanto a interseção
quanto a soma
não são conjuntos vazios, pois ambos contêm pelo menos o vetor zero.