Mostre que para quaisquer subespaços vetoriais S1 e S2 de V, S1 cap S2 neq varnothing e S1+S2 neq varnothing.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, para quaisquer dois subespaços vetoriais e de um espaço vetorial , a interseção e a soma nunca são conjuntos vazios. Vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, interseção e soma desses subespaços para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre subespaços vetoriais. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se você pegar qualquer vetor no subespaço e somar com outro vetor do mesmo subespaço, o resultado também estará no subespaço. O mesmo vale para multiplicar um vetor por um número qualquer.

Passo 3

Agora, vamos pensar na interseção . A interseção de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em ambos. Como e são subespaços vetoriais, ambos contêm o vetor zero. Portanto, o vetor zero está na interseção , o que já garante que essa interseção não está vazia.

Passo 4

Vamos agora para a soma S1 + S2 = u + v mid u in S1 e v in S2 . A soma de dois subespaços 0 + 0 = 0 in S1 + S2 é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja,
Como ambos e contêm o vetor zero, podemos escolher em e em . Assim,
Isso mostra que a soma também contém pelo menos o vetor zero, garantindo que não é vazia.

Resposta

Para quaisquer subespaços vetoriais e de , tanto a interseção quanto a soma não são conjuntos vazios, pois ambos contêm pelo menos o vetor zero.

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