Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta:
S1=(x, y, z) in R^3 mid x=y e S2=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar a interseção e a soma dos subespaços e no , além de verificar quando essa soma é direta. Vamos precisar usar conceitos de subespaços, interseção, soma e soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção x + x + z = 0 implies 2x + z = 0 implies z = -2x . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em S1 cap S2 = x(1, 1, -2) mid x in R e em .
  • Para estar em : temos que .
  • Para estar em : a equação é .
Como , substituímos na equação de :
Então, os vetores na interseção têm a forma , que podemos escrever como . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2) - dim(S1 cap S2) = 2 + 2 - 1 = 3 . Isso significa todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de S1 + S2 = R^3 e um vetor de .
Sabemos que:
  • Dimensão de : 2 (pois é definido por uma equação linear em ).
  • Dimensão de : 2 (também definido por uma equação linear em ).
  • Dimensão da interseção : 1.
Usamos a fórmula da dimensão da soma:
Como a dimensão da soma é 3, que é a dimensão de , temos que:

Passo 4

Por último, vamos verificar quando a soma é direta. Uma soma S1 cap S2 = x(1, 1, -2) mid x in R é direta se e somente se a interseção for o único vetor trivial, ou seja, apenas o vetor zero.
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que há infinitos vetores na interseção, não apenas o zero. Portanto, a soma não é direta.

Resposta

A interseção S1 cap S2 = x(1, 1, -2) mid x in R é o conjunto de todos os vetores da forma S1 + S2 = R^3 , ou seja,
A soma é todo o espaço :
Como a interseção não é apenas o vetor zero, a soma não é direta.

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