Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar a interseção e a soma dos subespaços
e
no
, além de verificar quando essa soma é direta. Vamos precisar usar conceitos de subespaços, interseção, soma e soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão em
e em
.
- Para estar em
: temos que . - Para estar em
: a equação é .
Como
, substituímos na equação de
:
Então, os vetores na interseção têm a forma
, que podemos escrever como
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a soma
. Isso significa todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Sabemos que:
- Dimensão de
: 2 (pois é definido por uma equação linear em ). - Dimensão de
: 2 (também definido por uma equação linear em ). - Dimensão da interseção
: 1.
Usamos a fórmula da dimensão da soma:
Como a dimensão da soma é 3, que é a dimensão de
, temos que:
Passo 4
Por último, vamos verificar quando a soma é direta. Uma soma
é direta se e somente se a interseção
for o único vetor trivial, ou seja, apenas o vetor zero.
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que há infinitos vetores na interseção, não apenas o zero. Portanto, a soma não é direta.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores da forma
, ou seja,
A soma
é todo o espaço
:
Como a interseção não é apenas o vetor zero, a soma não é direta.