Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
(1,0,0),(1,3,5),(3,2,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os seguintes vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD):
(1,0,0), (1,3,5), (3,2,5)
Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o teste de linearidade que envolve montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante ou verificar se alguma combinação linear deles resulta no vetor zero. Vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e determinantes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 3 0 & 3 & 2 0 & 5 & 5
Isso porque queremos verificar se existe alguma combinação linear desses vetores que dê a zero, o que indicaria que eles são LD.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, eles são LD. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
det(A) = 1 times 3 times 5 + 1 times 2 times 0 + 3 times 0 times 5 - 3 times 3 times 0 - 1 times 2 times 1 - 1 times 0 times 5
Calculando cada termo:
det(A) = (1 cdot 3 cdot 5) + (1 cdot 2 cdot 0) + (3 cdot 0 cdot 5) - (3 cdot 3 cdot 0) - (1 cdot 2 cdot 1) - (1 cdot 0 cdot 5)
det(A) = 15 + 0 + 0 - 0 - 2 - 0 = 13

Resposta

Como o determinante é , os conjuntos de vetores são Linearmente Independentes (LI).

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