Verifique se os conjuntos de vetores de wp(3) (polinômios de grau menor ou igual a 3 ) abaixo são linearmente independentes:
1+2 t^2-3 t^3, t+t^3, 1+3 t-2 t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto de vetores, que são polinômios de grau até 3, é linearmente independente. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz com os coeficientes desses polinômios e ver se a única solução para a combinação deles igual a zero é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. No nosso caso, queremos ver se a única maneira de combinar esses polinômios para obter o polinômio zero é usando coeficientes todos iguais a zero.

Passo 3

Agora, vamos extrair os coeficientes de cada polinômio e montar uma matriz. Cada polinômio pode ser representado por seus coeficientes em relação às potências de 1 & 0 & 1 0 & 1 & 3 2 & 0 & -2 -3 & 1 & 0 :
  1. tem os coeficientes [1, 0, 2, -3]
  2. tem os coeficientes [0, 1, 0, 1]
  3. tem os coeficientes [1, 3, -2, 0]
Vamos organizar esses coeficientes em uma matriz:

Passo 4

Para verificar a independência linear, precisamos ver se a única solução para a equação é . Isso corresponde a resolver o sistema linear representado pela matriz acima igual a zero. Podemos usar métodos como eliminação de Gauss ou calcular o determinante, mas como a matriz não é quadrada, vamos verificar o posto da matriz.
Observando as linhas, vemos que nenhuma linha é múltiplo exato das outras e que há pelo menos três pivôs independentes, o que indica que as colunas são linearmente independentes.

Resposta

Os conjuntos de vetores fornecidos são linearmente independentes.

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