Os vetores
e
geram o espaço vetorial
, mas não formam uma base. Determine duas maneiras diferentes de expressar o vetor
como combinação linear dos vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três vetores
,
e
que geram o espaço vetorial
, mas não formam uma base. Nosso objetivo é encontrar duas maneiras diferentes de escrever o vetor
como uma combinação linear desses três vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa expressar
como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Isso quer dizer que queremos encontrar coeficientes
,
e
tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Vamos expandir essa equação para termos um sistema de equações. Multiplicando cada componente:
Isso nos dá o sistema:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
. Como temos duas equações com três incógnitas, teremos infinitas soluções. Vamos atribuir valores a uma das variáveis e resolver para as outras.
Passo 4
Primeira maneira:
Vamos supor que
. Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, resolvemos o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Somando com a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então, uma combinação é:
Segunda maneira:
Agora, vamos supor que
. Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, isolamos
:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo
na equação de
:
Então, outra combinação é:
Resposta
Duas maneiras de expressar
como combinação linear dos vetores
,
e
são: