Os vetores u=(1,-3), v=(2,-8) e w=(-3,7) geram o espaço vetorial R^2, mas não formam uma base. Determine duas maneiras diferentes de expressar o vetor (1,1) como combinação linear dos vetores u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três vetores , e que geram o espaço vetorial , mas não formam uma base. Nosso objetivo é encontrar duas maneiras diferentes de escrever o vetor como uma combinação linear desses três vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar a cdot u + b cdot v + c cdot w = (1, 1) como uma combinação linear dos vetores a cdot (1, -3) + b cdot (2, -8) + c cdot (-3, 7) = (1, 1) , e . Isso quer dizer que queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Substituindo os vetores, temos:

Passo 3

Vamos expandir essa equação para termos um sistema de equações. Multiplicando cada componente:
( a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot (-3), ; a cdot (-3) + b cdot (-8) + c cdot 7 ) = (1, 1)
Isso nos dá o sistema:
a + 2b - 3c = 1 -3a - 8b + 7c = 1
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e . Como temos duas equações com três incógnitas, teremos infinitas soluções. Vamos atribuir valores a uma das variáveis e resolver para as outras.

Passo 4

Primeira maneira:
Vamos supor que a + 2b = 1 . Substituindo na primeira equação:
-3a - 8b = 1
E na segunda equação:
3a + 6b = 3
Agora, resolvemos o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
(3a + 6b) + (-3a - 8b) = 3 + 1 -2b = 4 b = -2
Somando com a segunda equação:
a + 2(-2) = 1 a - 4 = 1 a = 5
Substituindo 5u - 2v + 0w = (1, 1) na primeira equação:
a - 3c = 1
Então, uma combinação é:
-3a + 7c = 1
Segunda maneira:
Agora, vamos supor que a = 1 + 3c . Substituindo na primeira equação:
-3(1 + 3c) + 7c = 1 -3 - 9c + 7c = 1 -3 - 2c = 1 -2c = 4 c = -2
E na segunda equação:
a = 1 + 3(-2) = 1 - 6 = -5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, isolamos -5u + 0v - 2w = (1, 1) :
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na equação de :
Então, outra combinação é:

Resposta

Duas maneiras de expressar como combinação linear dos vetores , e são:

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