Determine o subespaço gerado pelo conjunto , sendo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o subespaço gerado pelo conjunto , onde e . Para resolver isso, vamos trabalhar com combinações lineares de vetores e entender o que significa um subespaço no contexto de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se você pegar qualquer vetor no subespaço e somar com outro, ou multiplicar por um número qualquer, o resultado também estará dentro do subespaço.

Passo 3

Agora, para gerar um subespaço a partir de um conjunto de vetores, usamos combinações lineares desses vetores. Uma combinação linear de e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais (escalares).

Passo 4

Vamos aplicar isso aos vetores que você forneceu:
Para somar esses vetores, multiplicamos cada componente por e :
Agora, somamos as componentes correspondentes:

Passo 5

Então, o subespaço é formado por todos os vetores que podem ser escritos nessa forma:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço é uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

O subespaço gerado pelo conjunto é dado por todas as combinações lineares de e :
Ou, de forma expandida:

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Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
c) Todo número natural e par é um quadrado perfeito.
No espaço vetorial do , consideremos a seguinte base: . Determinar o vetor coordenada de em relação à base B sendo:
(a) .
Se é par, então é par.
Mostre que os vetores e formam uma base de e calcule o vetor coordenada de na base .