Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A=w1, w2, sendo w1=(-1,3,-1), w2=(1,-2,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o subespaço gerado pelo conjunto , onde e . Para resolver isso, vamos trabalhar com combinações lineares de vetores e entender o que significa um subespaço no contexto de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se você pegar qualquer vetor no subespaço e somar com outro, ou multiplicar por um número qualquer, o resultado também estará dentro do subespaço.

Passo 3

Agora, para gerar um subespaço a partir de um conjunto de vetores, usamos combinações lineares desses vetores. Uma combinação linear de e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais (escalares).

Passo 4

Vamos aplicar isso aos vetores que você forneceu:
c1 w1 + c2 w2 = c1 (-1, 3, -1) + c2 (1, -2, 4)
Para somar esses vetores, multiplicamos cada componente por = (-c1, 3c1, -c1) + (c2, -2c2, 4c2) e = (-c1 + c2, 3c1 - 2c2, -c1 + 4c2) :
Agora, somamos as componentes correspondentes:

Passo 5

Então, o subespaço S = ( -c1 + c2, 3c1 - 2c2, -c1 + 4c2 ) g| c1, c2 in R é formado por todos os vetores que podem ser escritos nessa forma:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço é uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

O subespaço S = c1 (-1, 3, -1) + c2 (1, -2, 4) g| c1, c2 in R gerado pelo conjunto S = ( -c1 + c2, 3c1 - 2c2, -c1 + 4c2 ) g| c1, c2 in R é dado por todas as combinações lineares de e :
Ou, de forma expandida:

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