No espaço vetorial do Re^2, consideremos a seguinte base: B=v1, v2. Determinar o vetor coordenada de v in Re^2 em relação à base B sendo:
(a) v=(1,1), v1=(2,-4), v2=(3,8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor v = (1,1) em relação à base B = v1 = (2,-4), v2 = (3,8). Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente trabalhando com mudança de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar saber como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de v em relação a B. Basicamente, queremos encontrar dois números, digamos a e b, tais que:
v = av1 + bv2
Isso significa que v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base B.

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
(1,1) = a(2,-4) + b(3,8)
Agora, distribuímos os escalares a e b nos vetores:
(1,1) = (2a, -4a) + (3b, 8b)

Passo 4

Agora, somamos as componentes correspondentes:
(1,1) = (2a + 3b, -4a + 8b)
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2a + 3b = 1 -4a + 8b = 1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por 4 para facilitar a eliminação:
8a + 12b = 4 -4a + 8b = 1
Agora, somamos as duas equações para eliminar a:
(8a - 4a) + (12b + 8b) = 4 + 1 4a + 20b = 5
Dividindo tudo por 4:
a + 5b = 54

Passo 6

Vamos voltar à primeira equação original para encontrar a em termos de b:
2a + 3b = 1 2a = 1 - 3b a = 1 - 3b2
Substituímos a na equação a + 5b = 54:
1 - 3b2 + 5b = 54 Muçõ

Passo 7

Agora que temos b, vamos encontrar a usando a = 1 - 3b2:
a = 1 - 3(314)2 = 1 - 9142 = 5142 = 528

Resposta

As coordenadas do vetor v = (1,1) em relação à base B são:
( 528, 314 )

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