No espaço vetorial do , consideremos a seguinte base: . Determinar o vetor coordenada de em relação à base B sendo:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente trabalhando com mudança de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar saber como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de em relação a . Basicamente, queremos encontrar dois números, digamos e , tais que:
Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
Agora, distribuímos os escalares e nos vetores:

Passo 4

Agora, somamos as componentes correspondentes:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por 4 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos as duas equações para eliminar :
Dividindo tudo por 4:

Passo 6

Vamos voltar à primeira equação original para encontrar em termos de :
Substituímos na equação :
çõ

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar usando :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são:

Exercícios relacionados

Se é um número ímpar, então é ímpar.
Seja uma base de (espaço vetorial das matrizes ) dada pelos vetores: e Calcule o vetor coordenada de .
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
c) Todo número natural e par é um quadrado perfeito.
Determine o subespaço gerado pelo conjunto , sendo .