No espaço vetorial do
, consideremos a seguinte base:
. Determinar o vetor coordenada de
em relação à base B sendo:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente trabalhando com mudança de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar saber como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de
em relação a
. Basicamente, queremos encontrar dois números, digamos
e
, tais que:
Isso significa que
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos substituir os vetores na equação:
Agora, distribuímos os escalares
e
nos vetores:
Passo 4
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por 4 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos as duas equações para eliminar
:
Dividindo tudo por 4:
Passo 6
Vamos voltar à primeira equação original para encontrar
em termos de
:
Substituímos
na equação
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando
:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são:
Exercícios relacionados
Se
é um número ímpar, então
é ímpar.
Seja
uma base de
(espaço vetorial das matrizes
) dada pelos vetores:
e
Calcule o vetor coordenada de
.
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
c) Todo número natural e par é um quadrado perfeito.
c) Todo número
Determine o subespaço
gerado pelo conjunto
, sendo
.