Justifique porque se e são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então também é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente justificar que se e são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então também é simétrica. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes simétricas e operações com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é chamada de simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Sabemos que e são matrizes quadradas simétricas, então:

Passo 4

Queremos provar que também é simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de :

Passo 5

Uma propriedade importante das matrizes é que a transposta da soma é igual à soma das transpostas. Ou seja:

Passo 6

Como e são simétricas, sabemos que e . Substituindo na equação anterior:

Passo 7

Então, mostramos que:
Isso significa que é igual à sua transposta, ou seja, é uma matriz simétrica.

Resposta

Portanto, se e são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então também é uma matriz simétrica.

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Sejam A e B matrizes do tipo . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Verifique que o operador de é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando for o plano.
e) Se .
Determine o subespaço , as projeções e e as reflexões e . Desenhe todos os objetos quando for o plano.
c) Se e .