Justifique porque se
e
são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então
também é.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente justificar que se
e
são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então
também é simétrica. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes simétricas e operações com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é chamada de simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Sabemos que
e
são matrizes quadradas simétricas, então:
Passo 4
Queremos provar que
também é simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de
:
Passo 5
Uma propriedade importante das matrizes é que a transposta da soma é igual à soma das transpostas. Ou seja:
Passo 6
Como
e
são simétricas, sabemos que
e
. Substituindo na equação anterior:
Passo 7
Então, mostramos que:
Isso significa que
é igual à sua transposta, ou seja,
é uma matriz simétrica.
Resposta
Portanto, se
e
são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então
também é uma matriz simétrica.