Justifique porque se A e B são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então A+B também é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente justificar que se e são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então também é simétrica. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes simétricas e operações com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é chamada de simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Sabemos que A = A^T e B = B^T e são matrizes quadradas simétricas, então:

Passo 4

Queremos provar que (A + B)^T também é simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de :

Passo 5

Uma propriedade importante das matrizes é que a transposta da soma é igual à soma das transpostas. Ou seja:
(A + B)^T = A^T + B^T

Passo 6

Como (A + B)^T = A + B e são simétricas, sabemos que e . Substituindo na equação anterior:

Passo 7

Então, mostramos que:
(A + B)^T = A + B
Isso significa que é igual à sua transposta, ou seja, é uma matriz simétrica.

Resposta

Portanto, se e são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então também é uma matriz simétrica.

Exercícios relacionados