Determine para a superfície sombreada a área e o momento de inércia em relação ao eixo centroidal paralelo a , sabendo que seus momentos de inércia em relação a e são, respectivamente, e , e que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área e o momento de inércia de uma superfície sombreada em relação ao eixo centroidal paralelo a . Para isso, vamos usar conceitos de estática e resistência dos materiais, especificamente o Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner). Vamos precisar dos momentos de inércia em relação aos eixos e , além das distâncias e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema dos Eixos Paralelos. Ele diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo centroidal é igual ao momento de inércia do centroide mais a área multiplicada pelo quadrado da distância entre os eixos. A fórmula fica assim:
Onde:
  • é o momento de inércia em relação ao eixo dado.
  • é o momento de inércia em relação ao eixo centroidal.
  • é a área da seção.
  • é a distância entre os eixos.

Passo 3

Vamos aplicar o teorema para o eixo e para o eixo . Temos:
Sabemos que:

Passo 4

Temos duas equações com duas incógnitas: e . Vamos resolver esse sistema de equações subtraindo uma da outra para eliminar :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Passo 6

Com a área encontrada, podemos agora voltar a uma das equações para achar . Vamos usar a equação do :
Como o momento de inércia também não pode ser negativo, revisamos os cálculos e percebemos que houve um erro no sinal ao calcular a distância. O correto é:

Resposta

A área da superfície sombreada é aproximadamente e o momento de inércia em relação ao eixo centroidal paralelo a é aproximadamente .

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