Determine para a superfície sombreada a área e o momento de inércia em relação ao eixo centroidal paralelo a
, sabendo que seus momentos de inércia em relação a
e
são, respectivamente,
e
, e que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área e o momento de inércia de uma superfície sombreada em relação ao eixo centroidal paralelo a
. Para isso, vamos usar conceitos de estática e resistência dos materiais, especificamente o Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner). Vamos precisar dos momentos de inércia em relação aos eixos
e
, além das distâncias
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema dos Eixos Paralelos. Ele diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo centroidal é igual ao momento de inércia do centroide mais a área multiplicada pelo quadrado da distância entre os eixos. A fórmula fica assim:
Onde:
-
é o momento de inércia em relação ao eixo dado. -
é o momento de inércia em relação ao eixo centroidal. -
é a área da seção. -
é a distância entre os eixos.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema para o eixo
e para o eixo
. Temos:
Sabemos que:
Passo 4
Temos duas equações com duas incógnitas:
e
. Vamos resolver esse sistema de equações subtraindo uma da outra para eliminar
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Passo 6
Com a área encontrada, podemos agora voltar a uma das equações para achar
. Vamos usar a equação do
:
Como o momento de inércia também não pode ser negativo, revisamos os cálculos e percebemos que houve um erro no sinal ao calcular a distância. O correto é:
Resposta
A área da superfície sombreada é aproximadamente
e o momento de inércia em relação ao eixo centroidal paralelo a
é aproximadamente
.