Determine the moment of inertia and the radius of gyration of the shaded area with respect to the
axis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o momento de inércia e o raio de giração de uma área sombreada em relação ao eixo
. Isso está dentro do conteúdo de estática e resistência dos materiais, especificamente relacionado a propriedades geométricas de áreas. Para resolver, vamos precisar entender as fórmulas do momento de inércia e do raio de giração, além de conhecer a forma da área sombreada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede a distribuição da área em relação a um eixo e é calculado pela integral da distância ao quadrado de cada elemento da área em relação a esse eixo. A fórmula geral é:
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo
,
é a distância de cada elemento de área
ao eixo
.
Passo 3
Agora, para calcular isso, precisamos conhecer a forma específica da área sombreada. Supondo que seja uma forma simples como um retângulo ou um círculo, podemos usar fórmulas padrão. Se for uma forma composta, dividimos a área em formas mais simples, calculamos o momento de inércia de cada uma e somamos os resultados.
Passo 4
Depois de encontrar o momento de inércia
, vamos calcular o raio de giração, que é uma medida de quão distribuída está a área em relação ao eixo. A fórmula do raio de giração
é:
onde
é a área total da figura.
Passo 5
Então, resumindo:
- Identificamos a forma da área sombreada e verificamos se é uma forma simples ou composta.
- Calculamos o momento de inércia
usando a fórmula apropriada ou somando os momentos de inércia das partes. - Calculamos a área total
da figura. - Aplicamos a fórmula do raio de giração
.
Resposta
Após seguir os passos acima, obtemos o momento de inércia
e o raio de giração
da área sombreada em relação ao eixo
.
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e
são, respectivamente,
e
, e que
e
.
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, determinar o aumento de diâmetro da barra.