Determine A A^t e A^t A, onde A=(ccccos alpha & sen alpha & 0 -sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisamos calcular e . Isso envolve multiplicação de matrizes e a matriz transposta. Então, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como encontrar a transposta de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta de A = cos alpha & sin alpha & 0 -sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 , que é A^t = cos alpha & -sin alpha & 0 sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para a nossa matriz :
A transposta será:

Passo 3

Agora, vamos calcular A A^t = cos alpha & sin alpha & 0 -sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 cos alpha & -sin alpha & 0 sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados. Vamos fazer isso passo a passo:
cos alpha cdot cos alpha + sin alpha cdot sin alpha + 0 cdot 0 = cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
cos alpha cdot (-sin alpha) + sin alpha cdot cos alpha + 0 cdot 0 = -cos alpha sin alpha + sin alpha cos alpha = 0
  • Primeiro elemento (1,2):
cos alpha cdot 0 + sin alpha cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
  • Primeiro elemento (1,3):
A A^t = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Repetindo isso para todas as linhas e colunas, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos calcular A^t A = cos alpha & -sin alpha & 0 sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 cos alpha & sin alpha & 0 -sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 . O processo é o mesmo, multiplicando as linhas de cos alpha cdot cos alpha + (-sin alpha) cdot (-sin alpha) + 0 cdot 0 = cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1 pelas colunas de cos alpha cdot sin alpha + (-sin alpha) cdot cos alpha + 0 cdot 0 = cos alpha sin alpha - sin alpha cos alpha = 0 :
cos alpha cdot 0 + (-sin alpha) cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
A^t A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Primeiro elemento (1,3):
Fazendo isso para todas as posições, temos:

Resposta

Tanto A A^t = A^t A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 quanto são iguais à matriz identidade 3x3:

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