Obter todas as matrizes B que comutam com A=(lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz dada, ou seja, queremos que . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente ao estudo de matrizes e suas propriedades de comutatividade. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com multiplicação de matrizes e resolver um sistema de equações para descobrir os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a matriz B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 de forma geral. Como é uma matriz 3x3, também será uma matriz 3x3 com elementos desconhecidos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto AB = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 = 1cdot b11 + 0cdot b21 + 0cdot b31 & 1cdot b12 + 0cdot b22 + 0cdot b32 & 1cdot b13 + 0cdot b23 + 0cdot b33 1cdot b11 + 1cdot b21 + 0cdot b31 & 1cdot b12 + 1cdot b22 + 0cdot b32 & 1cdot b13 + 1cdot b23 + 0cdot b33 0cdot b11 + 1cdot b21 + 1cdot b31 & 0cdot b12 + 1cdot b22 + 1cdot b32 & 0cdot b13 + 1cdot b23 + 1cdot b33 . Multiplicando AB = b11 & b12 & b13 b11 + b21 & b12 + b22 & b13 + b23 b21 + b31 & b22 + b32 & b23 + b33 por :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto BA = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 = b11cdot 1 + b12cdot 1 + b13cdot 0 & b11cdot 0 + b12cdot 1 + b13cdot 1 & b11cdot 0 + b12cdot 0 + b13cdot 1 b21cdot 1 + b22cdot 1 + b23cdot 0 & b21cdot 0 + b22cdot 1 + b23cdot 1 & b21cdot 0 + b22cdot 0 + b23cdot 1 b31cdot 1 + b32cdot 1 + b33cdot 0 & b31cdot 0 + b32cdot 1 + b33cdot 1 & b31cdot 0 + b32cdot 0 + b33cdot 1 . Multiplicando BA = b11 + b12 & b12 + b13 & b13 b21 + b22 & b22 + b23 & b23 b31 + b32 & b32 + b33 & b33 por :
Simplificando:

Passo 5

Para que , os elementos correspondentes dessas duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar cada posição:
  1. (já sabemos que é 0)
  2. (já sabemos que ambos são 0)
  3. (já sabemos que )

Passo 6

Resumindo as igualdades encontradas:
Isso significa que as entradas são iguais e as entradas e também são iguais, enquanto e são zero. As outras entradas podem ser qualquer valor.

Resposta

Todas as matrizes B = b & 0 & 0 c & b & 0 d & c & b que comutam com são da forma:
onde e são números reais quaisquer.

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