Obter todas as matrizes
que comutam com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as matrizes
que comutam com a matriz
dada, ou seja, queremos que
. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente ao estudo de matrizes e suas propriedades de comutatividade. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com multiplicação de matrizes e resolver um sistema de equações para descobrir os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a matriz
B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 de forma geral. Como
é uma matriz 3x3,
também será uma matriz 3x3 com elementos desconhecidos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
AB = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 = 1cdot b11 + 0cdot b21 + 0cdot b31 & 1cdot b12 + 0cdot b22 + 0cdot b32 & 1cdot b13 + 0cdot b23 + 0cdot b33 1cdot b11 + 1cdot b21 + 0cdot b31 & 1cdot b12 + 1cdot b22 + 0cdot b32 & 1cdot b13 + 1cdot b23 + 0cdot b33 0cdot b11 + 1cdot b21 + 1cdot b31 & 0cdot b12 + 1cdot b22 + 1cdot b32 & 0cdot b13 + 1cdot b23 + 1cdot b33 . Multiplicando
AB = b11 & b12 & b13 b11 + b21 & b12 + b22 & b13 + b23 b21 + b31 & b22 + b32 & b23 + b33 por
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto
BA = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 = b11cdot 1 + b12cdot 1 + b13cdot 0 & b11cdot 0 + b12cdot 1 + b13cdot 1 & b11cdot 0 + b12cdot 0 + b13cdot 1 b21cdot 1 + b22cdot 1 + b23cdot 0 & b21cdot 0 + b22cdot 1 + b23cdot 1 & b21cdot 0 + b22cdot 0 + b23cdot 1 b31cdot 1 + b32cdot 1 + b33cdot 0 & b31cdot 0 + b32cdot 1 + b33cdot 1 & b31cdot 0 + b32cdot 0 + b33cdot 1 . Multiplicando
BA = b11 + b12 & b12 + b13 & b13 b21 + b22 & b22 + b23 & b23 b31 + b32 & b32 + b33 & b33 por
:
Simplificando:
Passo 5
Para que
, os elementos correspondentes dessas duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar cada posição:
-
-
-
(já sabemos que é 0) -
-
-
(já sabemos que ambos são 0) -
-
-
(já sabemos que )
Passo 6
Resumindo as igualdades encontradas:
Isso significa que as entradas
são iguais e as entradas
e
também são iguais, enquanto
e
são zero. As outras entradas
podem ser qualquer valor.
Resposta
Todas as matrizes
B = b & 0 & 0 c & b & 0 d & c & b que comutam com
são da forma:
onde
e
são números reais quaisquer.
Exercícios relacionados
Sejam os vetores
u ,
v e
w . Prove que: Os vetores
u, v e
w são LI se, e somente se, os vetores
u1=u+v, u2=u-w e
u3=v-w são LI.
Provar que se
A e
B são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
c)(A+B)^3=A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3 .
c)
Verifique se o conjunto
A=1, t, e^t são linearmente independentes. Justifique com argumentos matemáticos.
Determine
A A^t e
A^t A , onde
A=(ccccos alpha & sen alpha & 0 -sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1) .