Verifique se o conjunto A=1, t, e^t são linearmente independentes. Justifique com argumentos matemáticos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é linearmente independente. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente no estudo de dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como verificar se uma combinação linear igual a zero só tem a solução trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou funções, no caso) ser linearmente independente. Dizemos que os vetores são linearmente independentes se a única maneira de obter uma combinação linear igual a zero é atribuindo todos os coeficientes a zero. Ou seja, se temos:
c1 cdot 1 + c2 cdot t + c3 cdot e^t = 0
A única solução para deve ser .

Passo 3

Vamos montar essa equação:
c1 cdot 1 + c2 cdot t + c3 cdot e^t = 0
Isso precisa valer para todo valor de . Nosso objetivo é mostrar que a única solução possível para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar a equação. O termo é uma função exponencial, que é linearmente independente dos termos polinomiais como e . Isso significa que não há combinação de e que possa gerar , e vice-versa. Portanto, para que a soma seja zero para todos os , cada coeficiente deve ser zero.

Passo 5

Formalmente, se tentarmos resolver a equação:
c1 + c2 t + c3 e^t = 0
Para que isso seja verdadeiro para todo , precisamos que , e , pois não há valores de e que possam cancelar o termo para todos os .

Resposta

O conjunto é linearmente independente, já que a única solução para a combinação linear igual a zero é que todos os coeficientes sejam zero.

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