Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R . Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria Se e<= <=vasse o sofá mais a estante, pagaria . A televisão mais a estante sairiam por 3.400,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, conseguindo ainda mais R de desconto pelo pagamento à vista.
Qual foi o valor total pago pelo cliente?
Modele o problema usando um sistema linear e resolva-o pelo método de Gauss.

Passo 1

Vamos resolver um problema de sistema linear para descobrir quanto um cliente pagou ao comprar dois televisores e um sofá em promoção, com um desconto adicional de 5%. Precisamos usar equações para representar as promoções e depois resolver esse sistema para encontrar os preços individuais dos produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • = preço de uma televisão
  • = preço de um sofá
  • = preço de uma estante

Passo 3

Com base nas promoções oferecidas pela loja, podemos montar as seguintes equações:
  1. Televisão + Sofá = R$ 3.800,00
    3.800,00 [ T + S = 3800 ] 2 Sofá + Estante = R
  2. Sofá + Estante = R$ 3.400,00
    S + E = 3400
  3. Televisão + Estante = R$ 4.200,00
    T + E = 4200

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três desconhecidos:
T + S = 3800 S + E = 3400 T + E = 4200
Vamos resolver esse sistema usando o método de Gauss.

Passo 5

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & 0 & | & 3800 0 & 1 & 1 & | & 3400 1 & 0 & 1 & | & 4200

Passo 6

Subtraímos a primeira linha da terceira para eliminar Linha 3 - Linha 1 Rightarrow (1-1)T + (0-1)S + (1-0)E = 4200 - 3800 :
0T - S + E = 400
-S + E = 400
Então, a nova equação 3 é:

Passo 7

Agora, temos:
T + S = 3800 S + E = 3400 -S + E = 400
Podemos somar as equações 2 e 3 para eliminar (S + E) + (-S + E) = 3400 + 400 :
2E = 3800 Rightarrow E = 1900

Passo 8

Com -S + 1900 = 400 Rightarrow -S = 400 - 1900 Rightarrow -S = -1500 Rightarrow S = 1500 , substituímos na equação 3:

Passo 9

Agora, substituímos T + 1500 = 3800 Rightarrow T = 3800 - 1500 Rightarrow T = 2300 na equação 1:

Passo 10

Agora sabemos que:
T = 2300 S = 1500 E = 1900

Passo 11

O cliente comprou 2 televisores e 1 sofá:
2T + S = 2(2300) + 1500 = 4600 + 1500 = 6100
Aplicando o desconto de 5%:
Desconto = 5% de 6100 = 0,05 times 6100 = 305
Total pago = 6100 - 305 = 5795

Resposta

O cliente pagou um total de R$ 5.795,00.

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