Determine T^*, onde T: C^3 C^3(K=C) é dada por
T(u, v, w)=(2 u+i v, v-5 i w, u+(1-i) v+3 w)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos trabalhando com um exercício de Álgebra Linear, especificamente envolvendo transformações lineares em espaços vetoriais complexos. A questão pede para determinar o operador adjunto T(u, v, w) = (2u + i v, , v - 5i w, , u + (1 - i)v + 3w) de uma transformação linear lang<= T(x), y rang<= = lang<= x, T^*(y) rang<= definida por:
Para resolver isso, precisamos entender o que é o operador adjunto . Em espaços vetoriais com produto interno, o adjunto de uma transformação linear é o operador que satisfaz:
onde denota o produto interno. No caso de espaços complexos, o adjunto corresponde à matriz transposta e conjugada de .

Passo 2

Representando a Transformação Linear T(u, v, w) = (2u + i v, , v - 5i w, , u + (1 - i)v + 3w) como uma Matriz
Primeiro, vamos representar a transformação A = 2 & i & 0 0 & 1 & -5i 1 & 1 - i & 3 como uma matriz. Considerando que , podemos escrever na forma de uma matriz onde cada coluna representa a imagem dos vetores da base can��nica.
A transformação dada é:
Podemos expressar isso como:

Passo 3

Calculando o Adjunto A^* = A^T da Matrizes A = 2 & i & 0 0 & 1 & -5i 1 & 1 - i & 3 = 2 & -i & 0 0 & 1 & 5i 1 & 1 + i & 3
O adjunto A^* = 2 & 0 & 1 -i & 1 & 1 + i 0 & 5i & 3 é obtido tomando a matriz transposta de e, em seguida, conjugando cada elemento complexo. Ou seja:
Onde é a matriz com os elementos conjugados de e é a transposta de .
Vamos calcular a conjugada de cada elemento de :
Agora, transpondo essa matriz:

Passo 4

Expressando a Transformação T^*(x, y, z) = A^* x y z = 2 & 0 & 1 -i & 1 & 1 + i 0 & 5i & 3 x y z
Agora que temos a matriz adjunta T^*(x, y, z) = (2x + 0y + 1z, , -i x + 1y + (1 + i)z, , 0x + 5i y + 3z) , podemos escrever a transformação T^*(x, y, z) = (2x + z, , -i x + y + (1 + i)z, , 5i y + 3z) aplicando a um vetor de :
Realizando a multiplicação:
Simplificando:

Resposta

O operador adjunto T^*(x, y, z) = (2x + z, , -i x + y + (1 + i)z, , 5i y + 3z) é dado por:

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