Estamos trabalhando com um exercício de Álgebra Linear, especificamente envolvendo transformações lineares em espaços vetoriais complexos. A questão pede para determinar o operador adjunto de uma transformação linear definida por:
Para resolver isso, precisamos entender o que é o operador adjunto . Em espaços vetoriais com produto interno, o adjunto de uma transformação linear é o operador que satisfaz:
onde denota o produto interno. No caso de espaços complexos, o adjunto corresponde à matriz transposta e conjugada de .
Passo 2
Representando a Transformação Linear como uma Matriz
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Considerando que , podemos escrever na forma de uma matriz onde cada coluna representa a imagem dos vetores da base can��nica.
A transformação dada é:
Podemos expressar isso como:
Passo 3
Calculando o Adjunto A^* = A^T da Matrizes A = 2 & i & 0 0 & 1 & -5i 1 & 1 - i & 3 = 2 & -i & 0 0 & 1 & 5i 1 & 1 + i & 3
O adjunto A^* = 2 & 0 & 1 -i & 1 & 1 + i 0 & 5i & 3 é obtido tomando a matriz transposta de e, em seguida, conjugando cada elemento complexo. Ou seja:
Onde é a matriz com os elementos conjugados de e é a transposta de .
Vamos calcular a conjugada de cada elemento de :
Agora, transpondo essa matriz:
Passo 4
Expressando a Transformação T^*(x, y, z) = A^* x y z = 2 & 0 & 1 -i & 1 & 1 + i 0 & 5i & 3 x y z
Agora que temos a matriz adjunta T^*(x, y, z) = (2x + 0y + 1z, , -i x + 1y + (1 + i)z, , 0x + 5i y + 3z) , podemos escrever a transformação T^*(x, y, z) = (2x + z, , -i x + y + (1 + i)z, , 5i y + 3z) aplicando a um vetor de :
Realizando a multiplicação:
Simplificando:
Resposta
O operador adjunto T^*(x, y, z) = (2x + z, , -i x + y + (1 + i)z, , 5i y + 3z) é dado por: