Estamos trabalhando com um exercício de Álgebra Linear, especificamente envolvendo transformações lineares em espaços vetoriais complexos. A questão pede para determinar o operador adjunto de uma transformação linear definida por:
Para resolver isso, precisamos entender o que é o operador adjunto . Em espaços vetoriais com produto interno, o adjunto de uma transformação linear é o operador que satisfaz:
onde denota o produto interno. No caso de espaços complexos, o adjunto corresponde à matriz transposta e conjugada de .
Passo 2
Representando a Transformação Linear como uma Matriz
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Considerando que , podemos escrever na forma de uma matriz onde cada coluna representa a imagem dos vetores da base can��nica.
A transformação dada é:
Podemos expressar isso como:
Passo 3
Calculando o Adjunto da Matrizes
O adjunto é obtido tomando a matriz transposta de e, em seguida, conjugando cada elemento complexo. Ou seja:
Onde é a matriz com os elementos conjugados de e é a transposta de .
Vamos calcular a conjugada de cada elemento de :
Agora, transpondo essa matriz:
Passo 4
Expressando a Transformação
Agora que temos a matriz adjunta , podemos escrever a transformação aplicando a um vetor de :