Encontre uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D de modo que A=P D P^T, mostrando que a matriz A é ortogonalmente equivalente a matriz D.
a) A=(lll5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1)
b) A=(lll2 & 3 & 0 3 & 2 & 4 0 & 2 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz ortogonal e uma matriz diagonal de modo que . Isso significa que queremos diagonalizar a matriz usando uma matriz ortogonal. Para isso, vamos precisar usar o conceito de diagonalização de matrizes simétricas, que envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Com os autovalores, montamos a matriz , e com os autovetores, formamos a matriz ortogonal .

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
A = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1
Primeiro, observamos que é uma matriz simétrica, pois . Isso é importante porque matrizes simétricas sempre podem ser diagonalizadas por uma matriz ortogonal.

Passo 3

O próximo passo é encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
det 5 - lambda & 0 & 0 0 & 1 - lambda & 3 0 & 3 & 1 - lambda = (5 - lambda) cdot det 1 - lambda & 3 3 & 1 - lambda
Calculando o determinante:
= (5 - lambda) cdot [(1 - lambda)^2 - 9]
= (5 - lambda) cdot (lambda^2 - 2lambda - 8)
lambda = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62
Resolvendo lambda1 = 5, lambda2 = 4, lambda3 = -2 :
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 0 & 0 & 0 0 & -4 & 3 0 & 3 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 0 3 4 :
|v1| = raiz0^2 + 3^2 + 4^2 = 5
Isso nos dá a equação u1 = 15 0 3 4 = 0 35 45 , ou seja, . Escolhendo , obtemos . Como pode ser qualquer valor, vamos escolher para simplificar. Então, um autovetor é .
Normalizando :

Passo 5

Para 1 & 0 & 0 0 & -3 & 3 0 & 3 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 0 1 1 :
|v2| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Isso nos dá u2 = 1raiz2 0 1 1 = 0 1raiz2 1raiz2 e , ou seja, . Escolhendo , então . Então, um autovetor é .
Normalizando :

Passo 6

Para 7 & 0 & 0 0 & 3 & 3 0 & 3 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 0 -1 1 :
|v3| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz2
Isso nos dá u3 = 1raiz2 0 -1 1 = 0 -1raiz2 1raiz2 e , ou seja, e . Escolhendo , então . Um autovetor é .
Normalizando :

Passo 7

Agora que temos os autovetores ortonormalizados P = 0 & 0 & 0 35 & 1raiz2 & -1raiz2 45 & 1raiz2 & 1raiz2 , D = 5 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -2 e , podemos construir a matriz e a matriz diagonal :

Passo 8

Vamos verificar se P D = 0 & 0 & 0 35 & 4raiz2 & -2raiz2 45 & 4raiz2 & -2raiz2 :
Multiplicando P D P^T = A :
E agora, multiplicando por :
Isso confirma que encontramos as matrizes corretas.

Resposta

Para a matriz 5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1 , as matrizes ortogonal P = 0 & 0 & 0 35 & 1raiz2 & -1raiz2 45 & 1raiz2 & 1raiz2 e diagonal D = 5 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -2 que satisfazem são:

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