Encontre uma matriz ortogonal e uma matriz diagonal de modo que , mostrando que a matriz é ortogonalmente equivalente a matriz .
a)
b) A=(lll2 & 3 & 0 3 & 2 & 4 0 & 2 & 2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz ortogonal e uma matriz diagonal de modo que . Isso significa que queremos diagonalizar a matriz usando uma matriz ortogonal. Para isso, vamos precisar usar o conceito de diagonalização de matrizes simétricas, que envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Com os autovalores, montamos a matriz , e com os autovetores, formamos a matriz ortogonal .
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
A = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1
Primeiro, observamos que é uma matriz simétrica, pois . Isso é importante porque matrizes simétricas sempre podem ser diagonalizadas por uma matriz ortogonal.
Passo 3
O próximo passo é encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá a equação u1 = 15 0 3 4 = 0 35 45 , ou seja, . Escolhendo , obtemos . Como pode ser qualquer valor, vamos escolher para simplificar. Então, um autovetor é .