Nos problemas de a) a d) são apresentados subconjuntos do
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do
relativamente às operações de adição e multiplicação por esalar usuais.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Basicamente, é um conjunto de vetores que, além de pertencer ao espaço maior (neste caso,
), satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
- Para
, temos . - E
.
Então, o vetor
está em
, mas o vetor zero
não está em
. Já que a primeira condição não é satisfeita, podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Mesmo assim, para entender melhor, vamos verificar as outras duas condições:
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Somando-os:
Para que
esteja em
, precisaríamos que a segunda coordenada seja igual à primeira mais 2:
Isso não é verdade, então
não é fechado sob adição.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em
e multiplicar por um escalar
:
Para que isso esteja em
, precisaríamos que a segunda coordenada seja igual à primeira mais 2:
Isso só funciona se
, o que não é válido para todo escalar
. Então,
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Prove que todo número primo maior que 2 é ímpar.
Quais das transformações abaixo são lineares?
(n)
(n)
Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(d) , tal que
(d)
Existe uma transformação linear injetora
: