Nos problemas de a) a d) são apresentados subconjuntos do . Verificar quais deles são subespaços vetoriais do relativamente às operações de adição e multiplicação por esalar usuais. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Basicamente, é um conjunto de vetores que, além de pertencer ao espaço maior (neste caso, ), satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
  • Para , temos .
  • E .
Então, o vetor está em , mas o vetor zero não está em . Já que a primeira condição não é satisfeita, podemos concluir que não é um subespaço vetorial de .

Passo 4

Mesmo assim, para entender melhor, vamos verificar as outras duas condições:
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Somando-os:
Para que esteja em , precisaríamos que a segunda coordenada seja igual à primeira mais 2:
Isso não é verdade, então não é fechado sob adição.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em e multiplicar por um escalar :
Para que isso esteja em , precisaríamos que a segunda coordenada seja igual à primeira mais 2:
Isso só funciona se , o que não é válido para todo escalar . Então, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço vetorial de .

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(n)
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(d) , tal que
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