Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
(a) T: R^3 longrightarrow R^4, tal que T(1,3,-1)= (1,1,-1,0), T(2,0,1)=(0,0,1,-1) e T(0,-1,1)=(1,0,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma transformação linear . O que sabemos é como age em três vetores que formam a base de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como bases e transformação linear, e montar uma matriz que representa a transformação .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se temos , a matriz que representa será uma matriz , já que ela transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões.

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base de v1 = (1, 3, -1), v2 = (2, 0, 1), v3 = (0, -1, 1) de T(v1) = (1, 1, -1, 0), T(v2) = (0, 0, 1, -1), T(v3) = (1, 0, -1, 0) . No nosso caso:
E sabemos as imagens desses vetores pela transformação :

Passo 4

A matriz de A = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 será formada colocando as imagens dos vetores da base como colunas. Ou seja, a matriz que representa será:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.

Passo 5

Agora, para qualquer vetor T(x) = A cdot x = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 x1 x2 x3 = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 1 cdot x3 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3 -1 cdot x1 + 1 cdot x2 + (-1) cdot x3 0 cdot x1 + (-1) cdot x2 + 0 cdot x3 em , a transformação pode ser calculada multiplicando a matriz por :

Passo 6

Simplificando a multiplicação, temos:
T(x) = x1 + x3 x1 - x1 + x2 - x3 - x2

Passo 7

Então, juntando tudo, a transformação linear T(x1, x2, x3) = (x1 + x3, ; x1, ; -x1 + x2 - x3, ; -x2) pode ser escrita como:

Resposta

A transformação linear T(x1, x2, x3) = (x1 + x3,; x1,; -x1 + x2 - x3,; -x2) é dada por:

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