Determine conhecendo os valores de na base de .
(a) , tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma transformação linear . O que sabemos é como age em três vetores que formam a base de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como bases e transformação linear, e montar uma matriz que representa a transformação .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se temos , a matriz que representa será uma matriz , já que ela transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões.

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base de de . No nosso caso:
E sabemos as imagens desses vetores pela transformação :

Passo 4

A matriz de será formada colocando as imagens dos vetores da base como colunas. Ou seja, a matriz que representa será:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.

Passo 5

Agora, para qualquer vetor em , a transformação pode ser calculada multiplicando a matriz por :

Passo 6

Simplificando a multiplicação, temos:

Passo 7

Então, juntando tudo, a transformação linear pode ser escrita como:

Resposta

A transformação linear é dada por:

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§ .
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