Determine conhecendo os valores de na base de .
(a) , tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma transformação linear . O que sabemos é como age em três vetores que formam a base de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como bases e transformação linear, e montar uma matriz que representa a transformação .
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se temos , a matriz que representa será uma matriz , já que ela transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões.
Passo 3
Vamos chamar os vetores da base de de . No nosso caso:
E sabemos as imagens desses vetores pela transformação :
Passo 4
A matriz de será formada colocando as imagens dos vetores da base como colunas. Ou seja, a matriz que representa será:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.
Passo 5
Agora, para qualquer vetor T(x) = A cdot x = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 x1 x2 x3 = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 1 cdot x3 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3 -1 cdot x1 + 1 cdot x2 + (-1) cdot x3 0 cdot x1 + (-1) cdot x2 + 0 cdot x3 em , a transformação pode ser calculada multiplicando a matriz por :
Passo 6
Simplificando a multiplicação, temos:
T(x) = x1 + x3 x1 - x1 + x2 - x3 - x2
Passo 7
Então, juntando tudo, a transformação linear T(x1, x2, x3) = (x1 + x3, ; x1, ; -x1 + x2 - x3, ; -x2) pode ser escrita como:
Resposta
A transformação linear T(x1, x2, x3) = (x1 + x3,; x1,; -x1 + x2 - x3,; -x2) é dada por: