Determine conhecendo os valores de na base de .
(a) , tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma transformação linear . O que sabemos é como age em três vetores que formam a base de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como bases e transformação linear, e montar uma matriz que representa a transformação .
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se temos , a matriz que representa será uma matriz , já que ela transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões.
Passo 3
Vamos chamar os vetores da base de de . No nosso caso:
E sabemos as imagens desses vetores pela transformação :
Passo 4
A matriz de será formada colocando as imagens dos vetores da base como colunas. Ou seja, a matriz que representa será:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.
Passo 5
Agora, para qualquer vetor em , a transformação pode ser calculada multiplicando a matriz por :
Passo 6
Simplificando a multiplicação, temos:
Passo 7
Então, juntando tudo, a transformação linear pode ser escrita como: