Prove que um número é par se, e somente se, seu quadrado é um número par. Prove o equivalente para números ímpares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente provar que um número é par se e somente se o seu quadrado também é par. Além disso, precisamos fazer o mesmo para números ímpares. Vamos usar conceitos básicos de números pares e ímpares e trabalhar com definições matemáticas simples para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro. Por exemplo, 4 é par porque
. Já um número é ímpar se ele pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro. Por exemplo, 5 é ímpar porque
.
Passo 3
Vamos começar provando a primeira parte: Se um número é par, então seu quadrado também é par.
- Suponha que
seja um número par. Então, podemos escrever para algum inteiro . - O quadrado de
é . - Observe que
, que é um múltiplo de 2. - Portanto,
também é par.
Passo 4
Agora, vamos provar a outra direção: Se o quadrado de um número é par, então o número também é par.
- Suponha que
é par. Então, podemos escrever para algum inteiro . - Sabemos que somente números pares ao serem elevados ao quadrado resultam em números pares. Se
fosse ímpar, seria ímpar. Como é par, deve ser par.
Passo 5
Agora, vamos fazer a mesma coisa para números ímpares: Um número é ímpar se, e somente se, seu quadrado é ímpar.
Primeira parte: Se um número é ímpar, então seu quadrado também é ímpar.
- Suponha que
seja ímpar. Então, para algum inteiro . - O quadrado de
é . - Isso mostra que
tem a forma , onde , ou seja, é ímpar.
Segunda parte: Se o quadrado de um número é ímpar, então o número também é ímpar.
- Suponha que
é ímpar. Se fosse par, então seria par, o que contraria nossa suposição. - Portanto,
deve ser ímpar.
Resposta
Provamos que um número é par se e somente se seu quadrado é par, e da mesma forma, um número é ímpar se e somente se seu quadrado é ímpar.
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Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(a) , tal que
(a)
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
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