Prove que um número é par se, e somente se, seu quadrado é um número par. Prove o equivalente para números ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente provar que um número é par se e somente se o seu quadrado também é par. Além disso, precisamos fazer o mesmo para números ímpares. Vamos usar conceitos básicos de números pares e ímpares e trabalhar com definições matemáticas simples para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como , onde é um número inteiro. Por exemplo, 4 é par porque . Já um número é ímpar se ele pode ser escrito como , onde é um número inteiro. Por exemplo, 5 é ímpar porque .

Passo 3

Vamos começar provando a primeira parte: Se um número é par, então seu quadrado também é par.
  • Suponha que seja um número par. Então, podemos escrever para algum inteiro .
  • O quadrado de é .
  • Observe que , que é um múltiplo de 2.
  • Portanto, também é par.

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: Se o quadrado de um número é par, então o número também é par.
  • Suponha que é par. Então, podemos escrever para algum inteiro .
  • Sabemos que somente números pares ao serem elevados ao quadrado resultam em números pares. Se fosse ímpar, seria ímpar. Como é par, deve ser par.

Passo 5

Agora, vamos fazer a mesma coisa para números ímpares: Um número é ímpar se, e somente se, seu quadrado é ímpar.
Primeira parte: Se um número é ímpar, então seu quadrado também é ímpar.
  • Suponha que seja ímpar. Então, para algum inteiro .
  • O quadrado de é .
  • Isso mostra que tem a forma , onde , ou seja, é ímpar.
Segunda parte: Se o quadrado de um número é ímpar, então o número também é ímpar.
  • Suponha que é ímpar. Se fosse par, então seria par, o que contraria nossa suposição.
  • Portanto, deve ser ímpar.

Resposta

Provamos que um número é par se e somente se seu quadrado é par, e da mesma forma, um número é ímpar se e somente se seu quadrado é ímpar.

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