Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação, encontrar uma base para esse núcleo, descobrir a dimensão desse subespaço e verificar se é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear, como encontrar bases e calcular dimensões, além de saber o que significa ser uma transformação injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são enviados para o vetor zero em . Ou seja:
No nosso caso, isso significa resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar todas as soluções .
Primeiro, podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Podemos resolver essa equação para :

Passo 4

Agora que temos em função de , podemos expressar também em função de :
Agora, podemos escrever as soluções em termos de :

Passo 5

Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto que contém apenas esse vetor:

Passo 6

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a transformação é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero.
No nosso caso, vimos que contém todos os vetores da forma . Isso significa que existem infinitos vetores no núcleo além do zero. Portanto, não é injetora.

Resposta

O núcleo de é . Uma base para esse núcleo é e sua dimensão é 1. A transformação não é injetora.

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