Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar. T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação, encontrar uma base para esse núcleo, descobrir a dimensão desse subespaço e verificar se é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear, como encontrar bases e calcular dimensões, além de saber o que significa ser uma transformação injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de ker(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = 0 , denotado por x + 2y - z = 0 2x - y + z = 0 , é o conjunto de todos os vetores que são enviados para o vetor zero em . Ou seja:
No nosso caso, isso significa resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar todas as soluções x = -2y + z .
Primeiro, podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a primeira equação para 2(-2y + z) - y + z = 0 -4y + 2z - y + z = 0 -5y + 3z = 0 :
-5y + 3z = 0 5y = 3z y = 35z
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Podemos resolver essa equação para :

Passo 4

Agora que temos x = -2(35z) + z x = -65z + z x = -65z + 55z x = -15z em função de (x, y, z) = ( -15z, 35z, z ) = z ( -15, 35, 1 ) , podemos expressar também em função de :
Agora, podemos escrever as soluções em termos de :

Passo 5

Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor Base do ker(T) = ( -15, 35, 1 ) . Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto que contém apenas esse vetor:

Passo 6

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a transformação é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero.
No nosso caso, vimos que contém todos os vetores da forma . Isso significa que existem infinitos vetores no núcleo além do zero. Portanto, não é injetora.

Resposta

O núcleo de é . Uma base para esse núcleo é e sua dimensão é 1. A transformação não é injetora.

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