Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação, encontrar uma base para esse núcleo, descobrir a dimensão desse subespaço e verificar se
é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear, como encontrar bases e calcular dimensões, além de saber o que significa ser uma transformação injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que são enviados para o vetor zero em
. Ou seja:
No nosso caso, isso significa resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar todas as soluções
.
Primeiro, podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Podemos resolver essa equação para
:
Passo 4
Agora que temos
em função de
, podemos expressar
também em função de
:
Agora, podemos escrever as soluções em termos de
:
Passo 5
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor
. Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto que contém apenas esse vetor:
Passo 6
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de
é 1.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a transformação
é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero.
No nosso caso, vimos que
contém todos os vetores da forma
. Isso significa que existem infinitos vetores no núcleo além do zero. Portanto,
não é injetora.
Resposta
O núcleo de
é
. Uma base para esse núcleo é
e sua dimensão é 1. A transformação
não é injetora.
Exercícios relacionados
Prove que um número é par se, e somente se, seu quadrado é um número par. Prove o equivalente para números ímpares.
Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(a) , tal que
(a)
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Calcule a distância entre o ponto
e o plano
.