Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão está relacionada a transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Precisamos determinar a transformação linear sabendo como ela age em uma base de . Para isso, vamos usar as informações fornecidas sobre nas três vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que se sabemos como age em uma base, podemos descobrir como ela age em qualquer vetor do espaço.
Passo 3
Vamos identificar os vetores da base de que são dados na questão:
E as imagens desses vetores por :
Passo 4
Agora, queremos encontrar a matriz que representa . Como vai de para , a matriz terá dimensões . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base.
Então, a matriz que representa é:
Passo 5
Com a matriz determinada, podemos escrever a transformação linear para qualquer vetor em como: