Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
(a) T: R^3 longrightarrow R^4, tal que T(1,3,-1)= (1,1,-1,0), T(2,0,1)=(0,0,1,-1) e T(0,-1,1)=(1,0,-1,0)
(b) T: R^2 longrightarrow R^2, tal que T(2,1)=(1,0) e T(0,1)= (1,-1).
© T: P1(R) longrightarrow R^2, tal que T(2 t)=(1,1) e T(-1)=(0,3).
(d) T: M2 x 2(R) longrightarrow R^2, tal que
T((ll2 & 0 0 & 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão está relacionada a transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Precisamos determinar a transformação linear sabendo como ela age em uma base de . Para isso, vamos usar as informações fornecidas sobre nas três vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que se sabemos como age em uma base, podemos descobrir como ela age em qualquer vetor do espaço.

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base de v1 = (1, 3, -1), v2 = (2, 0, 1), v3 = (0, -1, 1) que são dados na questão:
T(v1) = (1, 1, -1, 0), T(v2) = (0, 0, 1, -1), T(v3) = (1, 0, -1, 0)
E as imagens desses vetores por :

Passo 4

Agora, queremos encontrar a matriz que representa A = | & | & | T(v1) & T(v2) & T(v3) | & | & | = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 . Como vai de para , a matriz terá dimensões . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base.
Então, a matriz que representa é:

Passo 5

Com a matriz T(x) = A cdot x = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 x1 x2 x3 determinada, podemos escrever a transformação linear T(x) = ( 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 1 cdot x3, , 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3, , -1 cdot x1 + 1 cdot x2 + (-1) cdot x3, , 0 cdot x1 + (-1) cdot x2 + 0 cdot x3 ) para qualquer vetor T(x) = (x1 + x3, ; x1, ; -x1 + x2 - x3, ; -x2) em como:
Isso resulta em:
Simplificando:

Resposta

A transformação linear T(x1, x2, x3) = (x1 + x3, ; x1, ; -x1 + x2 - x3, ; -x2) é dada por:

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