Determine conhecendo os valores de na base de .
(a) , tal que e
(b) , tal que e .
© , tal que e .
(d) , tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão está relacionada a transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Precisamos determinar a transformação linear sabendo como ela age em uma base de . Para isso, vamos usar as informações fornecidas sobre nas três vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que se sabemos como age em uma base, podemos descobrir como ela age em qualquer vetor do espaço.

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base de que são dados na questão:
E as imagens desses vetores por :

Passo 4

Agora, queremos encontrar a matriz que representa . Como vai de para , a matriz terá dimensões . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base.
Então, a matriz que representa é:

Passo 5

Com a matriz determinada, podemos escrever a transformação linear para qualquer vetor em como:
Isso resulta em:
Simplificando:

Resposta

A transformação linear é dada por:

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