Seja R a reta que contém os pontos A(3,2) e B(5,5). Faça: c) determine a projeçāo ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a projeção ortogonal do ponto P(2,4) na reta R que passa pelos pontos A(3,2) e B(5,5). Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, principalmente a fórmula da projeção de um ponto sobre uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação da reta R. Sabemos que ela passa pelos pontos A(3,2) e B(5,5). Para encontrar a equação da reta, precisamos calcular o coeficiente angular (inclinação) usando a fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1
Substituindo os valores de A e B:
m = 5 - 25 - 3 = 32
Então, a inclinação da reta R é 32. Agora, vamos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Usando o ponto A(3,2):
y - 2 = 32(x - 3)
Simplificando:
y = 32x - 92 + 2 y = 32x - 52
Então, a equação da reta R é:
y = 32x - 52

Passo 3

Agora, vamos encontrar a projeção ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta R. A fórmula para a projeção ortogonal de um ponto (x0, y0) sobre uma reta y = mx + b é dada por:
(x', y') = ( m(y0 - b) + x0m^2 + 1, m^2 y0 + m x0 + bm^2 + 1 )
Aqui, m = 32, b = -52, e (x0, y0) = (2,4). Vamos substituir esses valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador das coordenadas:
x' = 32(4 - (-52)) + 2(32)^2 + 1 y' = (32)^2 cdot 4 + 32 cdot 2 + (-52)(32)^2 + 1
Simplificando:
Para x':
32(4 + 52) = 32 cdot 132 = 394 x' = 394 + 294 + 1 = 394 + 84134 = 474134 = 4713
Para y':
(32)^2 cdot 4 = 94 cdot 4 = 9 32 cdot 2 = 3 y' = 9 + 3 - 52134 = 12 - 52134 = 192134 = 192 cdot 413 = 3813

Resposta

A projeção ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta R é o ponto ( 4713, 3813 ).

Exercícios relacionados