Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto específico de matrizes com uma estrutura particular:
Queremos descobrir se esse conjunto, usando as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas de espaço vetorial e verificar cada um deles para ver se estão sendo satisfeitos por esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações (soma e multiplicação por escalar), satisfazem dez axiomas, como fechamento, existência de elemento neutro, associatividade, etc.
Para verificar se nosso conjunto de matrizes forma um espaço vetorial, precisamos checar cada um desses axiomas. Se algum deles não for satisfeito, o conjunto não é um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar pelo fechamento em relação à adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes desse conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao mesmo conjunto.
Pegamos duas matrizes genéricas do conjunto:
Somando :
Observamos que o elemento na posição (4,4) passou de 1 para 2. Mas, segundo o enunciado, todas as matrizes do conjunto devem ter o 1 fixo nessa posição. Como o resultado da soma não mantém esse 1, não pertence ao conjunto original.
Passo 4
Como já vimos que a soma de duas matrizes do conjunto não pertence mais ao conjunto, isso significa que o fechamento em relação à adição não está satisfeito.
Nesse caso, já podemos concluir que o conjunto não forma um espaço vetorial, pois não cumpre todos os axiomas necessários.
Resposta
O conjunto de matrizes fornecido não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma de fechamento em relação à adição.