Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
, o conjunto de todas as funções continuas definidas no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo
, junto com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se todos os seus axiomas estão sendo satisfeitos por
.
Passo 2
Primeiramente, um espaço vetorial é um conjunto que, além de possuir uma operação de adição e uma operação de multiplicação por escalar, satisfaz certos axiomas que garantem que podemos fazer combinações lineares dentro desse conjunto.
No caso de
, as operações usuais são:
- Adição de funções: Se
e são funções em , então . - Multiplicação por escalar: Se
é um número real e é uma função em , então .
Passo 3
Vamos verificar o primeiro axioma: Fechamento pela adição. Isso significa que se a gente soma duas funções contínuas, o resultado também deve ser uma função contínua.
Se
e
são contínuas em
, então
também é contínua em
. Isso acontece porque a soma de funções contínuas é contínua. Então, esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Agora, o segundo axioma: Fechamento pela multiplicação por escalar. Aqui, a gente precisa ver se multiplicar uma função contínua por um número real resulta em uma função contínua.
Se
é contínua em
e
é um real, então
também é contínua em
. Multiplicar por um escalar não altera a continuidade. Aí, esse axioma também está ok.
Passo 5
O terceiro axioma é o associatividade da adição. Isso quer dizer que
para todas as funções
em
.
Como a adição de funções é associativa, esse axioma está cumprido.
Passo 6
Quarto axioma: Comutatividade da adição. A gente precisa que
.
E claro, a soma de funções é comutativa. Então, esse também está satisfeito.
Passo 7
Quinto axioma: Elemento neutro da adição. Deve existir uma função zero
em
tal que
.
A função zero, que atribui
a cada ponto em
, é contínua e serve como elemento neutro. Aí, tá tudo certo.
Passo 8
Sexto axioma: Elemento inverso aditivo. Para cada função
em
, deve existir uma função
tal que
.
A função inversa
também é contínua, já que a multiplicação por
preserva a continuidade. Então, esse axioma está ok.
Passo 9
Sétimo axioma: Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares. Ou seja,
.
Isso é verdade porque a multiplicação de números reais é associativa, e aplicar isso às funções preserva essa propriedade. Aí, tá tudo bem.
Passo 10
Oitavo axioma: Identidade da multiplicação por escalar. Deve existir um escalar
tal que
para toda função
em
.
Multiplicar uma função por
não muda a função, então esse axioma também é válido.
Passo 11
Nono axioma: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de funções. Ou seja,
.
Isso funciona porque distribuir o escalar na soma das funções mantém a continuidade. Então, esse axioma está satisfeito.
Passo 12
Décimo axioma: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares. Isto é,
.
Como a soma de escalares e a multiplicação por escalar são operações que respeitam essa distribuição, esse axioma também está cumprido.
Resposta
Como
juntamente com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar satisfaz todos os dez axiomas de espaço vetorial, podemos concluir que
é um espaço vetorial.