Determine k, M in R, tais que lim t 1 k+k t+2 t^3t^2-1=M

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os valores reais limt 1 k + k t + 2 t^3t^2 - 1 = M e para que o limite abaixo seja igual a :
Aqui, estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente lidando com uma fração cujo denominador tende a zero quando se aproxima de 1. Para que esse limite exista e seja igual a um número real , precisamos garantir que o numerador também tenda a zero quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o numerador tenda a zero quando k + k(1) + 2(1)^3 = k + k + 2 = 2k + 2 se aproxima de 1. Vamos substituir 2k + 2 = 0 no numerador:
2k = -2 k = -1
Para que o numerador seja zero:
Resolvendo para :
Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora que sabemos que limt 1 -1 - t + 2 t^3t^2 - 1 , vamos substituir esse valor na expressão original:
ddt(-1 - t + 2 t^3) = -1 + 6 t^2
Percebemos que, quando substituímos ddt(t^2 - 1) = 2t , tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada limt 1 -1 + 6 t^22t = -1 + 6(1)^22(1) = -1 + 62 = 52 . Para resolver isso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, aplicamos o limite novamente:
Portanto, .

Resposta

e .

Exercícios relacionados