Determine , tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os valores reais e para que o limite abaixo seja igual a :
Aqui, estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente lidando com uma fração cujo denominador tende a zero quando se aproxima de 1. Para que esse limite exista e seja igual a um número real , precisamos garantir que o numerador também tenda a zero quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o numerador tenda a zero quando se aproxima de 1. Vamos substituir no numerador:
Para que o numerador seja zero:
Resolvendo para :
Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na expressão original:
Percebemos que, quando substituímos , tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, aplicamos o limite novamente:
Portanto, .

Resposta

e .

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
v)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
l)
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
a)
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
a)