Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação cúbica, , e a gente precisa provar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que ajuda a gente a saber se uma função cruza o eixo x em algum lugar dentro de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que está na equação. A gente pode reescrever a equação como:
Isso facilita porque agora a gente vai trabalhar diretamente com .

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo . Ou seja, vamos ver quanto vale e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos analisar os sinais dos valores que encontramos:
  • (positivo)
  • (negativo)
Como a função mudou de positivo para negativo ao passar de para , isso significa que, de acordo com o Teorema do Valor Médio, ela deve ter cruzado o eixo x em algum ponto entre esses dois valores.

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

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Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
a)
Determine , tais que
Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
a)
Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
e)