Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação cúbica,
, e a gente precisa provar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que ajuda a gente a saber se uma função cruza o eixo x em algum lugar dentro de um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que está na equação. A gente pode reescrever a equação como:
Isso facilita porque agora a gente vai trabalhar diretamente com
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo
. Ou seja, vamos ver quanto vale
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos analisar os sinais dos valores que encontramos:
-
(positivo) -
(negativo)
Como a função mudou de positivo para negativo ao passar de
para
, isso significa que, de acordo com o Teorema do Valor Médio, ela deve ter cruzado o eixo x em algum ponto entre esses dois valores.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
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Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
a)
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Determine
, tais que
Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
a)
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Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
e)
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