lim x 1 x^3-x^2+x-1x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício que temos aqui é:
lim x 1 x^3-x^2+x-1x^2-1
Estamos lidando com o cálculo de limites, mais especificamente, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais para encontrar o valor desse limite. Para isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 - 1^2 + 1 - 11^2 - 1 = 1 - 1 + 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Viu só? Ficamos com uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que essa é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^3 - x^2 + x - 1 = (x^3 - x^2) + (x - 1) = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)
Agora, vamos fatorar o numerador . Aqui, podemos agrupar os termos para facilitar a fatoração:

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, nossa expressão fica assim:
(x^2 + 1)(x - 1)(x - 1)(x + 1)
Vemos que podemos cancelar o fator comum x^2 + 1x + 1 no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir 1^2 + 11 + 1 = 1 + 12 = 22 = 1 sem problemas:

Resposta

1

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