Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(d) T: R^4 R^3 ; T(a, b, c, d)=(b, c, d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas duas propriedades são verdadeiras para a função dada.

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Sejam dois vetores u + v = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2, d1 + d2) e T(u + v) = (b1 + b2, c1 + c2, d1 + d2) em T(u) = (b1, c1, d1) .
Calculando T(v) = (b2, c2, d2) :
T(u) + T(v) = (b1 + b2, c1 + c2, d1 + d2)
Calculando :
Como , a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Seja ku = (ka, kb, kc, kd) um escalar e T(ku) = (kb, kc, kd) em T(u) = (b, c, d) .
Calculando kT(u) = (kb, kc, kd) :
Calculando :
Como , a propriedade de multiplicação por escalar é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados