Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades fundamentais:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas duas propriedades são verdadeiras para a função
dada.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam dois vetores
e
em
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
em
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade de multiplicação por escalar é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.