Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Cramer, que envolve determinantes. A gente tem o sistema:
x - 3y + 3z = -4 2x + 3y - z = 15 4x - 3y - z = 19
Para usar o método de Cramer, vamos precisar construir determinantes a partir dos coeficientes das variáveis e dos termos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das variáveis:
D = 1 & -3 & 3 2 & 3 & -1 4 & -3 & -1
Esse determinante D vai ser o denominador para encontrar os valores de , e .
Passo 3
Vamos calcular o determinante D. Usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui vai a expansão:
D = 1 times (3 times (-1) - (-1) times (-3)) - (-3) times (2 times (-1) - (-1) times 4) + 3 times (2 times (-3) - 3 times 4)
Simplificando:
D = 1 times (-3 - 3) - (-3) times (-2 - (-4)) + 3 times (-6 - 12) = 1 times (-6) - (-3) times 2 + 3 times (-18) = -6 + 6 - 54 = -54
Passo 4
Agora, vamos encontrar Dx = -4 & -3 & 3 15 & 3 & -1 19 & -3 & -1 substituindo a coluna de Dx = -4 times (3 times (-1) - (-1) times (-3)) - (-3) times (15 times (-1) - (-1) times 19) + 3 times (15 times (-3) - 3 times 19) pelos termos independentes:
Dx = -4 times (-3 - 3) - (-3) times (-15 - (-19)) + 3 times (-45 - 57) = -4 times (-6) - (-3) times 4 + 3 times (-102) = 24 + 12 - 306 = -270
Calculando:
Passo 5
Para encontrar x = DxD = -270-54 = 5 , usamos:
Passo 6
Vamos encontrar Dy = 1 & -4 & 3 2 & 15 & -1 4 & 19 & -1 substituindo a coluna de Dy = 1 times (15 times (-1) - (-1) times 19) - (-4) times (2 times (-1) - (-1) times 4) + 3 times (2 times 19 - 15 times 4) pelos termos independentes:
Dy = 1 times (-15 + 19) - (-4) times (-2 + 4) + 3 times (38 - 60) = 1 times 4 - (-4) times 2 + 3 times (-22) = 4 + 8 - 66 = -54
Calculando:
y = DyD = -54-54 = 1
Então,
Passo 7
Por fim, encontramos Dz = 1 & -3 & -4 2 & 3 & 15 4 & -3 & 19 substituindo a coluna de Dz = 1 times (3 times 19 - 15 times (-3)) - (-3) times (2 times 19 - 15 times 4) + (-4) times (2 times (-3) - 3 times 4) pelos termos independentes:
Dz = 1 times (57 + 45) - (-3) times (38 - 60) + (-4) times (-6 - 12) = 1 times 102 - (-3) times (-22) + (-4) times (-18) = 102 - 66 + 72 = 108