Obtenha uma expressão que descreva a variação da temperatura ao longo do comprimento da aleta;

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma expressão que descreva como a temperatura varia ao longo do comprimento de uma aleta (ou barra). Para isso, vamos usar conhecimentos de condução de calor, que é a forma como o calor se propaga em um material sólido.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que a condução de calor em uma aleta pode ser descrita por uma equação diferencial. A equação básica que usamos para isso é a equação de condução de calor unidimensional em regime estacionário, que considera que a temperatura não muda com o tempo. A equação fica assim:
Aqui:
  • é a temperatura na posição da aleta.
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • é o perímetro da seção transversal da aleta.
  • é a condutividade térmica do material da aleta.
  • é a área da seção transversal da aleta.
  • é a temperatura ambiente.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente precisa aplicar as condições de contorno. Vamos supor que a aleta está fixa em uma extremidade com temperatura e que a outra extremidade perde calor por convecção. As condições de contorno seriam:
  1. Na posição : (temperatura fixa).
  2. Na posição : (isolada ou com perda por convecção).

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções exponenciais. A solução fica assim:
Onde é uma constante definida por:

Resposta

A expressão que descreve a variação da temperatura ao longo do comprimento da aleta é:
onde , é a temperatura na base da aleta, é a temperatura ambiente, é o comprimento da aleta, é a condutividade térmica, a área da seção transversal, o coeficiente de convecção e o perímetro da seção.

Exercícios relacionados

Determine a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido localizada em e em
Gere uma expressão analítica para as componentes e da posição da partícula de fluido em qualquer instante arbitrário em termos de e , as componentes da sua posição no instante . (Sugestão: sabemos que seguindo uma partícula de fluido. Substitua e e resolva as equações diferenciais. Resolva primeiro para e use o resultado para resolver para ).
Determine a maior velocidade para que o escoamento em uma tubulação de 250 mm de diâmetro permaneça laminar. Considere um fluido com viscosidade cinemática de .
Uma folha de plástico ( ), de de espessura, deve ser colada a uma placa de alumínio ( ) de 5 cm de espessura. A cola usada deve ser mantida a uma temperatura de 325 K de modo a atingir a melhor aderência; o calor para atingir ess objetivo deve ser fornecido por uma fonte radiante. O coeficiente convectivo de transferência de calor das superfícies externas de ambos os materiais, plástico e alumínio, é igual a 12 , e o ar ambiente está a 295 K . Qual é o fluxo de calor necessário se ele for aplicado à superfície de (a) plástico? (b) alumínio?