Obtenha uma expressão que descreva a variação da temperatura ao longo do comprimento da aleta;

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma expressão que descreva como a temperatura varia ao longo do comprimento de uma aleta (ou barra). Para isso, vamos usar conhecimentos de condução de calor, que é a forma como o calor se propaga em um material sólido.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que a condução de calor em uma aleta pode ser descrita por uma equação diferencial. A equação básica que usamos para isso é a equação de condução de calor unidimensional em regime estacionário, que considera que a temperatura não muda com o tempo. A equação fica assim:
d^2 Tdx^2 - hPkA (T - Tinfty) = 0
Aqui:
  • é a temperatura na posição da aleta.
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • é o perímetro da seção transversal da aleta.
  • é a condutividade térmica do material da aleta.
  • é a área da seção transversal da aleta.
  • é a temperatura ambiente.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente precisa aplicar as condições de contorno. Vamos supor que a aleta está fixa em uma extremidade com temperatura e que a outra extremidade perde calor por convecção. As condições de contorno seriam:
  1. Na posição : (temperatura fixa).
  2. Na posição : (isolada ou com perda por convecção).

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções exponenciais. A solução fica assim:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) ( cosh(xm) - sinh(Lm)cosh(Lm) cosh(xm) )
Onde m = raizkAhP é uma constante definida por:

Resposta

A expressão que descreve a variação da temperatura ao longo do comprimento da aleta é:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) cosh(xm)cosh(Lm)
onde , é a temperatura na base da aleta, é a temperatura ambiente, é o comprimento da aleta, é a condutividade térmica, a área da seção transversal, o coeficiente de convecção e o perímetro da seção.

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