Sabe-se que o perfil de velocidade para um escoamento laminar no interior de uma tubulação de seção circular constante para um fluido incompressível, newtoniano em regime permanente, é dado pela seguinte equação:
vz=vmax [1-(rR)^2]
Sendo r a distância em relação ao centro da tubulação, R o raio da tubulação e vmax a velocidade máxima do escoamento no centro da tubulação. Determine:
a) O gradiente de velocidade na parede da tubulação;
b) A tensão de cisalhamento na parede do tudo quando estiver escoando um fluido com mu=8,0 times 10^-3 Pa.s; Vmax =0,2 m / s, num tubo de 5,0 mm de diâmetro e
c) A velocidade média desse escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com escoamento laminar numa tubulação circular. A equação que descreve o perfil de velocidade desse escoamento é:
vz = vmax [1 - (rR)^2]
Aqui, é a distância do centro da tubulação, é o raio da tubulação, e é a velocidade máxima no centro. Vamos precisar de conceitos de cálculo de derivadas para achar o gradiente de velocidade e de física de fluidos para a tensão de cisalhamento e a velocidade média.

Passo 2

a) Gradiente de velocidade na parede da tubulação
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de velocidade na parede. O gradiente de velocidade é a derivada da velocidade em relação à distância dvzdr = vmax cdot ddr [1 - (rR)^2] = vmax cdot (0 - 2rR^2) = -2 vmax rR^2 . Vamos derivar dvzdr|r=R = -2 vmax RR^2 = -2 vmaxR em relação a :
Na parede da tubulação, . Então, substituímos:

Passo 3

b) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação
A tensão de cisalhamento ( tau = mu cdot dvzdr|r=R ) na parede pode ser calculada usando a fórmula:
tau = mu cdot (-2 vmaxR) = -2 mu vmaxR
Já encontramos tau = 2 mu vmaxR na parede:
tau = 2 times 8,0 times 10^-3 cdot 0,22,5 times 10^-3 = 2 times 8,0 times 10^-3 cdot 80 = 2 times 0,64 = 1,28 Pa
Como a tensão de cisalhamento é geralmente considerada em módulo, podemos ignorar o sinal:
Agora, vamos substituir os valores dados:
  • Pa.s
  • m/s
  • Diâmetro do tubo mm, então mm = m
Substituindo na fórmula:

Passo 4

c) Velocidade média desse escoamento
A velocidade média ( vm = 1A integral0^R vz cdot 2pi r , dr ) em um escoamento laminar numa tubulação circular pode ser encontrada integrando o perfil de velocidade e dividindo pela área:
integral0^R vmax [1 - (rR)^2] cdot 2pi r , dr = 2pi vmax integral0^R (r - r^3R^2) dr
Primeiro, vamos calcular a integral:
2pi vmax [ r^22 - r^44 R^2 ]0^R = 2pi vmax [ R^22 - R^44 R^2 ] = 2pi vmax [ R^22 - R^24 ] = 2pi vmax cdot R^24 = pi vmax R^22
Integrando termo a termo:
A = pi R^2
A área vm = pi vmax R^22pi R^2 = vmax2 = 0,22 = 0,1 m/s da seção transversal é:
Portanto:

Resposta

a) O gradiente de velocidade na parede é .
b) A tensão de cisalhamento na parede é Pa.
c) A velocidade média desse escoamento é m/s.

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