Sabe-se que o perfil de velocidade para um escoamento laminar no interior de uma tubulação de seção circular constante para um fluido incompressível, newtoniano em regime permanente, é dado pela seguinte equação:
Sendo a distância em relação ao centro da tubulação, o raio da tubulação a velocidade máxima do escoamento no centro da tubulação. Determine:
a) O gradiente de velocidade na parede da tubulação;
b) A tensão de cisalhamento na parede do tudo quando estiver escoando um fluido com Pa.s; , num tubo de de diâmetro e
c) A velocidade média desse escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com escoamento laminar numa tubulação circular. A equação que descreve o perfil de velocidade desse escoamento é:
Aqui, é a distância do centro da tubulação, é o raio da tubulação, e é a velocidade máxima no centro. Vamos precisar de conceitos de cálculo de derivadas para achar o gradiente de velocidade e de física de fluidos para a tensão de cisalhamento e a velocidade média.
Passo 2
a) Gradiente de velocidade na parede da tubulação
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de velocidade na parede. O gradiente de velocidade é a derivada da velocidade em relação à distância . Vamos derivar em relação a :
Na parede da tubulação, . Então, substituímos:
Passo 3
b) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação
A tensão de cisalhamento ( tau = mu cdot dvzdr|r=R ) na parede pode ser calculada usando a fórmula:
tau = mu cdot (-2 vmaxR) = -2 mu vmaxR
Já encontramos tau = 2 mu vmaxR na parede:
tau = 2 times 8,0 times 10^-3 cdot 0,22,5 times 10^-3 = 2 times 8,0 times 10^-3 cdot 80 = 2 times 0,64 = 1,28 Pa
Como a tensão de cisalhamento é geralmente considerada em módulo, podemos ignorar o sinal:
Agora, vamos substituir os valores dados:
Pa.s
m/s
Diâmetro do tubo mm, então mm = m
Substituindo na fórmula:
Passo 4
c) Velocidade média desse escoamento
A velocidade média ( vm = 1A integral0^R vz cdot 2pi r , dr ) em um escoamento laminar numa tubulação circular pode ser encontrada integrando o perfil de velocidade e dividindo pela área:
integral0^R vmax [1 - (rR)^2] cdot 2pi r , dr = 2pi vmax integral0^R (r - r^3R^2) dr