Resolva a equação diferencial. y' = x - 1 + x * y - y

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos a equação diferencial . Isso envolve a matéria de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações separáveis. Para resolver, a gente vai separar as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reorganizar os termos para deixar mais claro:
Isso dá:

Passo 3

Agora, a equação está na forma:
Perceba que podemos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Com as variáveis separadas, vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral:

Passo 6

Realizando as integrações:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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