Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Isso envolve a matéria de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações separáveis. Para resolver, a gente vai separar as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reorganizar os termos para deixar mais claro:
Isso dá:
Passo 3
Agora, a equação está na forma:
Perceba que podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Com as variáveis separadas, vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral:
Passo 6
Realizando as integrações:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(b)
e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Resolva a equação diferencial.