(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.
3y'' + 6y' + 6y = 0, y(pi/4) = 2, y'(pi/4) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes:
Também temos duas condições iniciais: e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a equação característica, achar suas raízes e, com elas, montar a solução geral da equação. Depois, usaremos as condições iniciais para encontrar os coeficientes específicos da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
a equação característica é dada por:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como a raiz está com , temos raízes complexas:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral fica:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, quando :
Sabemos que , então:
Agora, derivamos para encontrar :
Simplificando:
Aplicando a condição :
Simplificando:
Usando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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