(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes:
Também temos duas condições iniciais:
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a equação característica, achar suas raízes e, com elas, montar a solução geral da equação. Depois, usaremos as condições iniciais para encontrar os coeficientes específicos da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
a equação característica é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como a raiz está com
, temos raízes complexas:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então a solução geral fica:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, quando
:
Sabemos que
, então:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando:
Aplicando a condição
:
Simplificando:
Usando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: