Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar qual é a taxa de variação máxima da função
no ponto
e em que direção essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda enquanto a outra permanece constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado, que é
.
Para
:
Para
:
Passo 4
O gradiente da função no ponto
é um vetor que reúne essas derivadas parciais:
Passo 5
A taxa de variação máxima da função no ponto é o módulo desse vetor gradiente. Calculamos o módulo usando a fórmula da norma:
Passo 6
A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é a direção do próprio vetor gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário (de direção), dividimos o gradiente pelo seu módulo:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é aproximadamente
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede: (b) Descreva a relação entre o vetor gradiente e as curvas de nível da função
.
Seja
. Mostre que:
A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?