Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar qual é a taxa de variação máxima da função no ponto e em que direção essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda enquanto a outra permanece constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado, que é .
Para :
Para :

Passo 4

O gradiente da função no ponto é um vetor que reúne essas derivadas parciais:

Passo 5

A taxa de variação máxima da função no ponto é o módulo desse vetor gradiente. Calculamos o módulo usando a fórmula da norma:

Passo 6

A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é a direção do próprio vetor gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário (de direção), dividimos o gradiente pelo seu módulo:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é aproximadamente e ocorre na direção do vetor .

Exercícios relacionados

potencial elétrico em é dado por . Ache a taxa de variação de em na direção de para a origem.
Faça o que se pede: (b) Descreva a relação entre o vetor gradiente e as curvas de nível da função .
Seja . Mostre que:
A tempera num ponto é dada por , onde é medido em graus Celsius e x, y e em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?