Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema: precisamos encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e também a direção em que essa variação ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

A taxa de variação máxima de uma função em um ponto é dada pelo módulo do gradiente da função nesse ponto. O gradiente ( ) é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, formamos o vetor gradiente :
Substituindo o ponto na expressão do gradiente:

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação máxima, calculamos o módulo do gradiente:
A direção da taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente, que no ponto é ao longo do eixo positivo.

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é 3, ocorrendo na direção positiva do eixo .

Exercícios relacionados

Utilize a Regra da Cadeia para determinar e , onde para temos: ;
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em .
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.