Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema: precisamos encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e também a direção em que essa variação ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
A taxa de variação máxima de uma função em um ponto é dada pelo módulo do gradiente da função nesse ponto. O gradiente (
) é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, formamos o vetor gradiente
:
Substituindo o ponto
na expressão do gradiente:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação máxima, calculamos o módulo do gradiente:
A direção da taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente, que no ponto
é ao longo do eixo
positivo.
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é 3, ocorrendo na direção positiva do eixo
.
Exercícios relacionados
Utilize a Regra da Cadeia para determinar
e
, onde para
temos:
;
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
.
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
;
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.