Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado: em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto e também determinar um vetor unitário na direção dessa derivada máxima. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos diz a taxa de variação da função nessa direção. Para encontrar a derivada direcional, usamos o gradiente da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 6
O valor máximo da derivada direcional é o módulo do gradiente no ponto considerado. Vamos calcular esse módulo:
Passo 7
Agora, para encontrar o vetor unitário na direção da derivada máxima, normalizamos o gradiente:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional é e um vetor unitário na direção dessa derivada máxima é .