Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto e também determinar um vetor unitário na direção dessa derivada máxima. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos diz a taxa de variação da função nessa direção. Para encontrar a derivada direcional, usamos o gradiente da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

O valor máximo da derivada direcional é o módulo do gradiente no ponto considerado. Vamos calcular esse módulo:

Passo 7

Agora, para encontrar o vetor unitário na direção da derivada máxima, normalizamos o gradiente:

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é e um vetor unitário na direção dessa derivada máxima é .

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;